Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
118
А. Пуанкаре.
Как бы там ни было, Гильберт до конца разрабатывает следствия своих предпосылок и ищет, как можно было бы переделать геометрию, не пользуясь аксиомою Архимеда. По отношению к тем главам, которые школьники называют первой и второй книгою, трудностей нет. Там эта аксиома нигде не встречается.
Третья глава сочинения Гильберта говорит о пропорциях и о подобии. Вот в его сущности ход, которого держался Гильберт, чтобы установить учение о них независимо от аксиомы Архимеда. Он принимает :-sa определение пропорции обычное построение четвертой пропорциональной, но подобное определение должно быть оправдано; нужно показать, во-первых, что результат остается без изменения, каковы бы ни были вспомогательные линии, употребляемые в построении, и, во-вторых, что обычные правила исчисления применяются к пропорциям и при новом их определении. И то, и другое изложено у Гильберта удовлетворительно.
Четвертая глава говорит об измерении плоских площадей; если это измерение может быть легко установлено без помощи начала Архимеда, то потому, что два равновеликие многоугольника щи могут быть разложены на треугольники, так, что элементарные треугольники того и другого равны—каждый каждому соответствующему (другими словами, один может быть превращен в другой приемом китайской головоломки), или напротив, могут быть рассматриваемы, как разности многоугольников, допускающих подобный способ разложения (это все тот же прием, но в котором допускаются не только треугольники прикладываемые, но и треугольники вычитаемые). Но мы должны заметить, что аналогичное обстоятельство уже не имеет, повидимому, места для двух равновеликих многогранников, так что можно задать себе вопрос,— можно ли, например, определить объем пирамиды, не прибегая более или менее скрыто к помощи исчисления бесконечно-малых. Итак, не несомненно, что можно гак же легко обойтись без аксиомы Архимеда при измерении объемов, как и при измерении плоских площадей. Гильберт, впрочем, этого и не пробовал. Но уже после выпуска первого издания один из его учеников доказал, что приемы китайской головоломки не приложимы к объемам.
Во всяком случае оставался еще один вопрос; если дан многоугольник, то возможно ли разложить его на треугольники и затем
Отчет о работах Д. Гилььерта.
119
удалить один из них так, чтобы оставшийся многоугольник был равновелик данному, то есть так, чтобы, преобразуя этот оставшийся многоугольник по способу китайской головоломки, получить первоначальный многоугольник. Обыкновенно, ограничиваются тем, что говорят, что это невозможно, так как целое больше части. Но это значит вводить новую аксиому и, какою бы очевидною она нам ни казалась, логический ум был бы более удовлетворен, если бы он мог обойтись без нее. Шур, правда, нашел доказательство, но, опираясь на аксиому Архимеда; Гильберт желал притти к этому без пользования этою аксиомою. Вот какой прием ему приходится применить; он допускает, что площадь треугольника есть по определению полу-произведение основания на высоту, и он оправдывает это определение, показывая, что два треугольника равновеликие (с точки зрения китайской головоломки) имеют одну и ту же площадь (понимая этот термин в смысле нового определения), и что площадь треугольника, разложимого на многие другие, равна сумме площадей составляющих треугольников. Как только оправдание закончено, все остальное получается без труда. Это, значит, все тот же прием, чтобы избегнуть постоянных обращений к интуиции, которая доставляла бы нам постоянно все новые аксиомы, эти аксиомы преобразуют в определения, и уже после того эти определения оправдывают тем, чго они оказываются ивободными от противоречий.
Не-дезаргова геометрия. Основная теорема проективной геометрии есть теорема Дезарга. Два треугольника называются гомологичными, если прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной и той же точке. Дезарг показал, что точки пересечения соответствующих сторон двух гомологичных треугольников, лежат на одной и той же прямой линии; обратная теорема также справедлива.
Теорема Дезарга может быть установлена двумя путями:
1. Пользуясь проективными аксиомами плоскости и метрическими аксиомами плоскости.
2. Пользуясь проективными аксиомами не только плоскости, но и пространства. '
Таким образом, теорема могла бы быть открыта животным двух измерений, которому третье измерение казалось бы столь же не-
120
А. Пуанкаре.
понятным, как нам четвертое, которое, поэтому, не знало бы проективных аксиом пространства, но которое видело бы как в обитаемой им плоскости перемещаются неизменные фигуры, анааогичные нашим твердым телам, и которым, таким образом, были бы известны метрические аксиомы. Теорема могла бы быть открыта также и животным трех измерений, которое знало бы проективные аксиомы пространства, но, никогда не видя перемещений твердых тел, не знало бы метрических аксиом.
Но можно ли было бы доказать теорему Дезарга, не прибегая ни к проективным аксиомам пространства, ни к, метрическим аксиомам, пользуясь исключительно проективными аксиомами плоскости? Думали, что нет, но не были в этом уверены. Гильберт решил этот вопрос, построив не-дезаргову геометрию,—геометрию, разумеется, плоскую. Возьмем эллипс Е. Вне этого эллипса слово прямая сохраняет свой обычный смысл; внутри — слово прямая принимает другой смысл и обозначает уже дугу круга, которая, при продолжении, проходит через неподвижную точку Р, лежащую вне эллипса. Прямая, пересекающая эллипс Е, составится таким образом из двух прямолинейных—в обычном смысле этого слова—частей, соединенных внутри эллипса дугою круга; таков луч света/ который, проходя через преломляющее тело, отклоняется от своей прямолинейной тра-эктории. ,
