Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Две противоположные стороны параллелограмма будут равны по определению', мы умеем таким образом определять, равны ли лва отрезка, лишь бы только они были параллельны.
Благодаря этим условиям, мы можем теперь сравнивать длины двух отрезков: лишь бы только эти отрезки были параллельны. Сравнение двух длин, которых направление различно, не имеет никакого смысла и нужны были бы, так сказать, различные единицы длины для каждого направления. Бесполезно прибавлять, что слово угол не имеет никакого смысла.
Таким образом, длины будут выражаться числами; но это будут поневоле не обычные числа. Все, что мы можем сказать—это то, что, если теорема Дезарга верна, как мы это допустили, то эти числа принадлежат к системе, удовлетворяющей арифметическим аксиомам первых двух групп, т. е. к дезарговой системе. Обратно, если дана какая-нибудь система »S дезарговых чисел, то можно построить такую геометрию, чтобы длины отрезков прямой точно ныражались этими числами.
Вот, как можно осуществить это построение: точка этого нового пространства будет определяться тремя числами ,/•, у, z системы Л", которые будут называться координатами этой точки. Если мы прибавим к трем координатам различных точек какой-нибудь фигуры три постоянные (которые, само собою разумеется, суть дезарговы числа системы »V), мы получаем другую фигуру, преобразованную из первой; при этом так, что каждому отрезку одной из фигур соответствует в другой отрезок равный и параллельный (в том значении, которое выше придано этому слову). Это преобразование есть, следовательно, параллельное перенесение, так что эти три постоянные определяют перенесение. Если теперь мы умножим три координаты всех точек одной и той же фигуры на одну и ту же постоянную, мы получим вторую фигуру, гомотетичную первой.
124
А. Пуанкаре.
Уравнением плоскости будет известное линейное уравнение обыкновенной аналитической геометрии; но так как в системе V умножение, вообще говоря, будет не коммутативно, то весьма важно обратить внимание на то, что в каждом члене этого линейного уравнения координата играет роль множимого, а постоянный коэффициент—роль множителя.
Таким образом, каждой системе дезарговых чисел будет соответствовать новая геометрия, удовлетворяющая проективным аксиомам, аксиомам порядка, теореме Дезарга и постулату Евклида. В чем же теперь заключается геометричеЙсое значение арифметической аксиомы третьей группы, т. е. правило коммутативности умножения? Геометрический перевод этого правила — теорема Паскали, т. е. теорема о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение, предполагая, что Vro коническое сечение сводится к двум прямым.
Таким образом, теорема Паскаля будет верна или ложна, смотря по тому, будет ли система S паскалевой или не-паскалевой; и так как существуют не паскалевы системы, то будут равным образом и не-паскажвы геометрии. * *
Теорему Паскаля можно доказать исходя из метрических аксиом, она будет, следовательно, верна, если мы допустим, что фигуры могут преобразовываться не только с помощью гомотетии и параллельного перенесения, как это мы только что допустили, но и с помощью вращения.
Теорема Паскаля может быть равным образом выведена из аксиомы Архимеда, потому что мы только что видели, что каждая система чисел дезарговых и архимедовых есть в то же самое время и паскалева система; всякая не-паскалева геометрия есть, значиш, в то же время геометрия не-архимедова.
Streckenubertrager (переноситель отрезков). Перейдем к другой концепции Гильберта. Он изучает построения, которые можно было бы сделать не с помощью линейки и циркуля, а с помощью линейки и особого инструмента, который он называет Strecleu-ubertrayer'oM и который позволяет отложить на одной прямой отрезок, равный другому отрезку, взятому на другой прямой. Strerlcenubertrayrr не эквивалентен циркулю; циркуль позволяет построить пересечение двух окружностей или окружности и произ-
Отчет о работах д. Гильберта.
125
вольной прямой: Strecktnuhetirager дает нам только пересечение окружности и прямой, проходящей через центр .>того круга. Гильберт ищет, какие построения возможны с помощью этих двух инструментов и приходит к весьма замечательному результату.
Построения, которые могут быть сделаны с помощью линейки и циркуля могут быть произведены и с помощью линейки и Strich h-ubertrager'a, но только в том случае, если эти построении таковы, что она приводят всегда к вещественным точкам. Ясно, в самом деле, что это условие необходимо: ибо окружность всегда пересекается в двух вещественных точках прямою, проведенною через ее центр. Но трудно было предвидеть, что это условие будет в то же время достаточным.
Но это не все; во всех этих /построениях можно было бы заменить Streckeniihertruger другим инструментом Eichmasx'ou, позволяющим отложить на какой-либо прямой от какой-либо точки уж не произвольную длину, но длину, равную единице.
Замечание это, сделанное одним из учеников Гильберта, значительно увеличивает значение предыдущего результата.
Мемуар, который мы только что анализировали, сделал очевидною важность новой не-архимедовой геометрии; он исследовал роль аксиомы Архимеда в геометрических рассуждениях; главный результат этого исследования может быть резюмирован следующим образом: если мы откажемся от этой аксиомы и сохраним только аксиомы первых четырех групп, то существенные результаты евклидовой геометрии не потерпят ущерба: но иное получится, если мы сохраним только проективные аксиомы и аксиомы порядка, равно как и постулат Евклида, но откажемся зараз и от аксиомы Архимеда и от метрических аксиом: мы можем получить тогда не-пас-калеву геометрию.
