Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Отчет о работах Д. Гильберта, представленных в 190З г. Казанскому Физико-Математическому обществу для соискания международной премии имени Н. И. Лобачевского.
Наши идеи э происхождении и значении геометрических истин претерпели очень быструю эволюцию в течение последнего столетия. Открытия Лобаченского, Болиаи и Риманна открыли новую эру; правда, они не повлияли на тех лиц, слишком многочисленных, которые ишут доказательства постулата Евклида; на них, увы, ничто не могло повлиять; но они убедили всех истинных ученых в тщетности этих попыток. Таков был первый результат открытия неевклидовых геометрий. Но истинный смысл этого открытия не был выяснен сразу. Гельмгольц показал сперва, что предложения евклидовой геометрии не что иное, как законы движения твердых тел. тогда как предложения других геометрий суть законы, которым могли бы быть подчинены другие аналогичные тела, которые без сомнения не существуют, но существование коих можно допустить без того, чтобы это повело к малейшему противоречию; такие тела можно было бы даже изготовить при желании. Законы эти не могут быть, однако, рассматриваемы как экспериментальные, так как естественные твердые тела следуют им тотъко с грубым приближением; с другой же стороны воображаемые тела неевклидовой геометрии, как не существующие, не доступны опыту. Гельмгольц, однако, не высказался по этому поводу с полной ясностью.
Ли»подвинул анализ значительно дальше. Он изучал, каким путем могут комбинироваться различные возможные движения некоторой сиггем'ы или, говоря общее, различные возможные преобразования фигуры. Если рассматривать известное число преобразо-
106
А. Пуанкаре.
ваний и затем комбинировать их всеми возможными способами, то совокупность всех этих комбинаций составит то, что он называет группой. Каждой группе соответствует некоторая геометрия, и наша геометрия, соответствующая группе перемещений твердого тела, есть только весьма частный случай. Но все группы, которые можно вообразить, будут обладать некоторыми общими свойствами, и именно эти общие свойства ограничивают произвол изобретателей различных геометрий; их то Ли и изучал втечение всей своей жизни.
Он. однако, не был вполне удовлетворен своим трудом. Он рассматривал всегда пространство, как он сам говорит, как некоторое Zuldenmannififaltiglceit (числовое многообразие). Он ограничился изучением непрерывных групп в собственном смысле этого слова, групп, к которым прилагаются правила обыкновенного анализа бесконечно-малых. Таким образом не ограничил ли он себя искусственно?
Не пренебрег ли он при этом одною из необходимых аксиом геометрии (дело идет в конце концов об аксиоме Архимеда)? Не знаю, найдутся ли в его печатных трудах следы его работы мысли по этому поводу, но в своей переписке, в своих беседах он не раз выражал сожаление об этом.
Предстояло сделать еще шаг вперед и эта честь выпала на долю Гильберта. Необходимо, однако, сказать несколько слов о работах, которые подготовили и сделали возможным этот шаг. Со времени Лобачевского математическая мысль подверглась глубокой эволюции не только в геометрии, но и в арифметике, и в анализе. Понятие числа сделалось более ясным и точным; в то же время оно подверглось разнообразным обобщениям. Наиболее ценным из этих обобщений для анализа является введение мнимых чио-л, без которых современные математики не могли бы обойтись; но на этом уже не остановились и в науку введены другие обобщения числа или, как говорят, другие категории комплексных чисел.
Операции арифметики с своей стороны были подвергнуты критике, и кватернионы Гамильтона дали нам пример операции, представляющей почти полную аналогию с умножением, которую можно назвать тем же именем и которая, однако, не коммутативна: произведение изменяется при перестановке множителей. Здесь в арифме-
Отчет о работах Д. Гильберта.
107
тике мы имеем революцию, совершенно подобную той, которую Лобачевский произвел в геометрии.
Наше воззрение на бесконечность тоже изменилось. Г. Кантор научил нас различать степени в самой бесконечности (что, однако, не имеет ничего общего с бесконечно-малыми различных порядков, созданными Лейбницем в обыкновенном анализе бесконечно-малых). Понятие континуума, на которое издавна смотрели как на первичное, было анализировано и сведено к своим элементам.
Упоминать ли также о работах итальянских ученых, которые поставили себе целью создать всеобщий логический символизм и свести математическое рассуждение к чисто механическим правилам. Так, например, многие итальянские математики, в том числе Пеано и Падоа создали пазиграфию, т. е. род всеобщей алгебры, в которой все рассуждения заменяются символами или формулами.
Наконец, я должен упомянуть книгу Веронезе об основаниях геометрии, в которой автор впервые прилагает к геометрии трансфинитные числа Кантора; я буду еще иметь случай говорить об этом сочинении.
В 1899 г., по случаю юбилея Гаусса и Вебера, Гильберт опубликовал мемуар, под названием Grundlagen der Geometrie, наполненный оригинальнейшими идеями. Впрочем, это не впервые он занимался аналогичными вопросами, о чем свидетельствует его письмо к Клейну в 189-1 г. Ueber die gerade Linie als kurzeste Verbindung zweier Punkte. С тех пор он опубликовал в различных журналах ряд статей под заглавием:
