Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если мы хотим теперь иметь геометрию, в которой аксиомы порядка не имеют места, но в которой сохранен постулат Евклида и другие аксиомы, то нам стоит только взять за элементы мнимые точки и прямые обыкновенного пространства. Ясно, что мнимые точки пространства не даны нам, как размещенные в определенном порядке. Но более того: можно спросить—способны ли они быть размещенными таким образом; это, без сомнения, было бы возможно, как показал Г. Кантор (само собой, при условии не всегда помещать в соседстве одну с другой точки, которые мы рассматриваем как оесконечно-близкие, следовательно, при условии нарушения непрерывности пространства). Их, правда, можно было бы разместить, говорю я, но нельзя сделать этого так, чтобы этот порядок не нарушался различными операциями геометрии (перспектива, параллельное перенесение, вращение и т. п.). Аксиомы порядка, следовательно, не применимы к этой геометрии.
He-архимедова геометрия. Но наиболее оригинальная из концепций Гильберта—-это, бесспорно, не-архимедова геометрия, где все аксиомы верны, за исключением аксиомы Архимеда. Для этого
116
А. Пуанкаре.
нужно было построить сперва систему не-архимедовых чисе.'.т. е. систему элементов, между которыми можно было бы представить отношения равенства и неравенства, и к которым можно было бы применять операции, соответствующие арифметическому сложению и арифметическому умножению, при чем должно удовлетворить следующим условиям:
1°. Арифметические правила сложения и умножения (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и т. д., Arithmetisch* Axiome der Verknupfung) остаются без изменения.
2°. Правила исчисления и преобразования неравенств tArithmetische Axiome der Anordnung) равным образом остаются н силе.
3°. Аксиома Архимеда не верна.
К такой системе можно притти, избирая за элемент—с рок# следующей формы:
A0TA-A1 Г 1ArA2 Г1-+.......
где т есть целое положительное или отрицательное число, и где коэффициенты А суть вещественные числа, и условливаясь применять к этим строкам обычные правила сложения и умножения. Необходимо затем определить условия неравенства этих строк для того, чтобы иметь возможность разместить их в определенном порядке. Мы достигнем этого следующим условием: мы будем приписывать нашей строке знак числа A0 и мы будем говорить,—
что одна строка меньше другой, если вычитая ее из этой послед-
•
ней мы получаем разность положительную.
Ясно, что при таком условии правила исчисления неравенств остаются в силе, но аксиома Архимеда уже не верна; в самом деле, если мы возьмем два элемента I и t, то первый, сколько бы раз мы его ни складывали с самим собою останется всегда меньше второго. Всегда будем иметь t > п, каково бы не было число », так как разность t—п будет всегда положительна, ибо коэффициент первого члена t, который, по условию, определяет знак всего выражения, остается всегда равным 1.
Наши обыкновенные числа входят в виде частных случаев в систему нс-архимедовых чисел. Новые числа как бы вставляются в ряд наших обыкновенных чисел, так что, напр., суше-
Отчет о работах Д. Гильберта.
117
ствует бесконечно-большое число новых чисел, меньших, чем данное обыкновенное число Л и больших, чем все обыкновенные числа, меньшие, чем .4.
Представим теперь себе пространство трех измерений, где координаты точки измерялись бы не обыкновенными числами, а не-архи-медовыми числами, но где обычные уравнения прямой и плоскости, равно как и аналитические выражения углов и длин, продолжали бы иметь место. Ясно, что в этом пространстве все аксиомы остались бы верными, за исключением аксиомы Архимеда.
На произвольной прямой, между нашими обыкновенными числами, оказались бы вставленными новые точки. Если, напр., Dn есть обыкновенная прямая, Di — соответствующая прямая не-архимедова пространства, если P есть какая-либо обычная точка линии D0 и если эта точка разделяет D0 на две полу-прямые <V и Л" (прибавлю, для большой точности, что я рассматриваю P как не принадлежащую ни к S, ни к и"), то на D1 будет бесконечное множество новых точек, как между P и S, так и между P и S'. На 1> будет равным образом ^Ажонечно большое число новых точеь, которые все будут лежать вправо от всех обыкновенных точек линии D0. Резюмируя сказанное, наше обычное пространство есть только часть не-архимедова пространства.
Понятно, как велико значение этого изобретения и в каком отношении оно составляет в развитии наших идей шаг почти столь же смелый, как и тот, который мы сделали, благодаря Лобачевскому; неевклидова геометрия, можно сказать, относилась с уважением к качественной стороне концепции геометрического континуума, хотя в то же время потрясает до основания наши идеи о его измерении. Не-архимедова геометрия эту концепцию разрушает, она рассекает континуум, вводя в него новые элементы.
В этой столь смелой концепции у Гильберта был предшественник. При обосновании геометрии, Веронезе ввел аналогичную идею. Глава YI его введения есть развитие арифметики и геометрии, несомненно, ,не-архимедовых, где первенствующую роль играют трансфинитные числа Кантора. Тем не менее изяществом и простотой изложения, и глубиной своих философских взглядов, теми следствиями, которые он извлек из основной идеи, Гильберт, надо признал, сделал новую геометрию своим созданием.
