Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если да, то мы можем быть убеждены, что мы ничего не забыли. Ибо наша машина может работать только сообразно с правилами логики, для которых она построена; она не знает того смутного инстинкта, который мы называем интуицией.
Я не буду распространяться о проективных аксиомах пространства, обозначаемых автором I 4, 5, 6, 7, 8. Здесь не сделано ^икакого изменения в обычной формулировке.
Впрочем одно только слово об аксиомах I 3, 8. которые формулированы следующим образом:
„на всякой прямой существуют по меньшей мере две точки; на всякой плоскости — по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой линии; в пространстве—по меньшей мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости".
Эта формулировка характеристична. Тот, кто оставил бы хоть какое-нибудь место интуиции, как бы маю оно ни было, не подумал бы говорить, что на всякой прямой есть по меньшей мере две точки, или он тотчас бы прибавил, что их бесконечное множество; ибо интуиция прямой немедленно и одновременно открыла бы ему обе эти истины.
Переходим ко второй группе—группе аксиом порядка. Вот как формулированы две первые:
„Если три точки находятся на одной и той же прямой, то между ними существует некоторое отношение, которое мы выражаем, говоря, что одна из этих точек, и только одна, лежит между двумя дру-
Отчет о работах д. Гильберта.
111
гимн. Если С лежит между А и />, a I)— между А и С, то I) лежит также и между А и />, и т. д.".
Здесь мы также не прибегаем к интуиции; мы не стараемся уяснить, что обозначает слово между, всякое отношение, удовлетворяющее аксиомам, может быть обозначено этим словом. Это опять очень пригодно, чтобы выяснить нам чисто формальную природу математических определений; но я не буду настаивать на этом, ибо мне пришлось бы повторять сказанное по поводу первой группы.
Но является настоятельным остановиться на другом соображении. Аксиомы порядка представлены Гильбертом, как зависящие от проективных аксиом, и они не имели бы никакого смысла, если бы мы не допустили этих последних, потому что мы не знали бы, что такое три точки, расположенные по прямой линии. И однако, существует особая геометрия, чисто качественная, абсолютно независимая от проективной геометрии, которая не предполагает известными ни понятие прямой, ни понятие плоскости, но только понятия линии и поверхности; это то, что называют Analysis situs. Не предпочтительнее ли было бы дать аксиомам второй группы такую формулировку, которая бы освободила их от этой зависимости и вполне обособила их от первой группы? Но вопрос в том, возможно ли это при сохранении за этими аксиомами их чисто логического характера, т. е. отказываясь вполне от всякой интуиции.
Третья группа содержит метрические аксиомы, и мы различим в ней три подгруппы. Предположения III і, 2, з суть метрические аксиомы отрезков; эти аксиомы служат для определения длин. Условливаемся говорить, что отрезок, взятый на одной прямой, может быть конгруэнтен (равен) отрезку, взятому на другой прямой; это— аксиома III і, но это условие не вполне произвольно, оно должно быть таково, чтобы два отрезка, конгруэнтные одному и тому же третьему, были конгруэнтны между собою (III 2), затем новым условием определяется сложение отрезков, и это условие, в свою очередь, дотжно быть таково, чтобы складывая равные отрезки, мы получали равные суммы; в этом состоит аксиома III 3.
Аксиома III 4 и теорема 10 суть соответствующие предложения для углов. Но этого еще недостаточно: к двум подгруппам метрических аксиом для отрезков и углов нужно присоединить метри, ческую аксиому для треугольников (у Гильберта III 5); если два
112 А. Пуанкаре.
треугольника имеют по равному углу, заключенному между равными сторонами, то другие углы этих двух треугольников будут также соответственно равны.
Мы встречаем в данном случае один из известных случаев равенства треугольников, который обыкновенно доказывается наложением и который нужно рассматривать как постулат, если мы хотим избегнуть помощи интуиции. Притом когда пользуются интуициею, т. е. наложением, то сразу видят, что третьи стороны также равны в обоих треугольниках, и два предложения связываются, так сказать, в одном восприятии; здесь, напротив, мы их разделяем; из одного мы делаем постулат, другого таковым не делаем, потому что он может логически быть выведен из первого.
Один важный вопрос здесь не затронут; нужно было бы пополнить список аксиом указанием, что отрезок AB конгруэнтен обратному отрезку BA1): эта аксиома влечет как следствие симметрию пространства и равенство углов при основании в равнобедренном треугольнике. Гильберт не останавливается здес^ на этом вопросе, но он сделал из него предмет особого мемуара, о котором мы будем говорить далее.
Я не могу также не выразить сожаления, что в этом изложении метрических аксиом не осталось никакого следа от понятия, важность которого впервые была понята Гельмгольцем,—я говорю о перемещении неизменяющейся фигуры. Можно было бы сохранить за этим понятием его естественную роль, не жертвуя логическим характером аксиом. Таким образом было бы избегнуто искусствен-. ное введение аксиомы III 5 и постулаты были бы связаны с их истинным психологическим происхождением. В другом іЛемуаре, о котором будет речь дальше, Гильберт стал на эту точку зрения, которая нам кажется более удовлетворительной.'
