Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Я благодарен также г-же Мавис Такеучи-Лозано за помощь при подготовке рукописи в набор.
В период написания книги (с марта 1980 г. по январь 1982 г.) мне оказал частичную финансовую поддержку Национальный научный фонд по контракту PHY-78-24275 с Чикагским университетом. Кроме того, в течение трех месяцев (с марта по июнь 1980 г.) я получал финансовую поддержку как стипендиат Совета регентов Смитсоновского института (Вашингтон, федеральный округ Колумбия) в Астрофизическом центре при обсерватории Гарвардского колледжа.
Наконец, я благодарен издательству Кларендой Пресс, придавшему этой книге (так же как и двум предыдущим моим книгам) блеск полиграфического мастерства, присущий всем выпускаемым этим издательством книгам.
С. Ч.
ПРОЛОГ
Вряд ли я погрешу против истины, утверждая, что черные дыры — это самые совершенные макроскопические объекты во Вселенной. Ведь для их построения достаточно понятий о времени и пространстве. И поскольку общая теория относительности предсказывает, что они описываются всего одним семейством решений, эти объекты можно считать также и самыми простыми.
Единственным двухпараметрическим семейством решений, описывающим пространство-время вокруг черных дыр, является семейство Керра, открытое Роем Патриком Керром в июле 1963 г. Два параметра черной дыры — это ее масса и момент количества движения. Статическое решение с нулевым моментом количества движения было открыто Карлом Шварцшильдом в декабре 1915 г. Изучение черных дыр по существу сводится к изучению этих решений. Этим решениям и посвящена настоящая книга.
Карл Шварцшильд (1873—1916).
Глава 1
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
1. Введение
Настоящая глава посвящена аналитическим методам, лежащим в основе дальнейшего изложения. К ним относятся исчисление дифференциальных форм Картана, тетрадный формализм и формализм Ньюмена—Пенроуза. Хотя ни один из этих методов сам по себе и не нов, включение этого материала в книгу позволяет сделать изложение замкнутым. Содержание § 2—6 не может, однако, заменить стандартные курсы дифференциальной геометрии — это только минимум, необходимый для вывода карта-новых уравнений структуры.
2. Элементы дифференциальной геометрии
Основным объектом дифференциальной геометрии является многообразие. Многообразие можно определить как локально евклидово пространство.
Напомним, что n-мерное евклидово пространство Rn есть множество всех наборов п действительных чисел (х1, хп) (—оо < Xі < +оо), в котором обычным образом определены открытые и замкнутые множества (окрестности). Многообразие M локально совпадает с евклидовым пространством в том смысле, что M покрыто окрестностями Ша (т. е. \]°Ua = Щ и с каждой
окрестностью 6U^ связано взаимно однозначное отображение фа> которое переводит каждую точку р 0U0, в точку открытой окрестности Rn (на которую отображается окрестность 0U0) с координатами (л:1, хп). Пусть далее окрестности °Ua и Та многообразия пересекаются по непустому множеству °Ua ft Ф О» а фи и ^а — соответствующие отображения на окрестности в Rn, тогда отображение <j>a о \рй1 переводит точку \ра (р) (р ? 0U0, П П У а) с координатами, скажем, (х1, хп) в точку <j>a (р) с координатами (л;1, хп). По определению, чтобы M было многообразием, Xі (i = 1, п) должны быть гладкими функциями HePeMeHHbIx(x1, хп). (Гладкими называются функции, имеющие непрерывные частные производные всех порядков.)
Прямое произведение MxN двух многообразий M и N есть множество упорядоченных пар точек (р, q) (р ? M1 q ? N) со структурой многообразия. Именно, еоли 0U0, и Y$ — окрест-
a
18
Глава 1. Математический аппарат
ности соответственно в M и N1 а фа и % — связанные с этими окрестностями отображения, причем фа (р) = (х1, хп), а % (?) = (*/\ •••» #w) и л не обязательно равны), то отображение
(Фа X ?)-(^, .... Х\ у\ . .,
определяет (т + я)-мерное многообразие.
Рассмотрим теперь функцию / на М, определяемую отображением f : M T?1. Предположим, что комбинированное отображение f о фа1, которое сопоставляет точке (х\ хп), принадлежащей Rn, действительное число в R1, является гладкой функцией координат (я1, хп). Определим гладкую кривую X на M отображением
Я: интервал / (а < t < b) С R1 % (t) = р ? Af,
причем
(^ о Я) (0 - U1W. (/)1, (1)
и потребуем, чтобы xі' (/)(/ = 1, п) были гладкими функциями Отметим, что с помощью функции /, заданной на многообразии /И, можно определить функцию / о X на кривой Я, а отображение фао Я позволяет рассматривать функции f (k (t)) = f(xl(t), ...yxn(t)), где (х1 (/), хп (Y)) — координаты точки р = і (t) при отображении фа.
а. Касательные векторы. Пользуясь данным выше определением функции / (х1 (ґ), хп (t)) на кривой Я, рассмотрим производную
df
X (О
= lim (1/е) (X + е)-/(X (?))} =
Г=Г0 8->0
gfjcy (/) dt
df \ і dx1 df \
(2)
где в последнем равенстве предполагается суммирование по всем значениям повторяющихся индексов; это правило суммирования используется всюду в книге.
Ясно, что, рассматривая различные кривые Я, проходящие через данную точку р многообразия УИ, можно построить линейное векторное пространство в точке р, состоящее из линейных комбинаций частных производных:
