Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр: в 2-х томах" -> 11

Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2-х томах — M.: Мир, 1986. — 276 c.
Скачать (прямая ссылка): mathem-theory.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 97 >> Следующая


где ShT — произвольные тензорные поля.

Последнее правило позволяет определить действие S7X на тензор произвольного типа. Например, производная Ли 1-формы о может быть определена следующим образом. Рассмотрим соотношение

Sx (о ® Y) = (SxO)) ® Y + о ® SxY, (78)

в свернутой форме

Sx ((о, Y) = (SxO), Y)+ ((о, SxY) (79)

для произвольного вектора Y. Расписывая соотношение (79) через компоненты в локальном координатном базисе, имеем

X* (соуУ/), k = (SxCO)7 Yf + coy (SxY)/. (80)

Используя (73), приходим к следующему соотношению: (Sx(O)/ Vі = Xk (coy, kYj + coyW,) - coy {XkY[k ~ YhX[k) =

= (X*coy,/e + co*Xfy)r'', (81)

которое справедливо для произвольного вектора Y, и, следовательно,

(Sxco)y = wy,*X* + co*x!V (82)

Уравнение (79) может быть записано в альтернативной форме: Sx [со (Y)] = (Sx(O) (Y) -f (о (SxY). (83)

4. Ковариантное дифференцирование

31

Правило в) позволяет обобщить (83) на случай произвольного тензора типа (г, s):

Sx[T(O)1, ...,о/, Yb ..•,Ys)I = (SxT)(G)I, со', Y1, Y5) +

+ T(SxO)1, 0)2, о/, Y1, Y5)+ +

+ T(O)5, о/, Y1, SxY5). (84)

В этом уравнении все члены, кроме первого члена в правой части, могут быть вычислены с помощью соотношений (73), (75) и (82). Следовательно, уравнение (84) позволяет получить компоненты SxT.

Полезно для дальнейшего использования вывести простое тождество, связывающее внешнюю производную 1-формы с производными Ли. С помощью выражения (82) можно записать следующее соотношение:

<Sxo), Y)-Y(o), Х) = (®,; kXk +щХ*j)Y! -

- Vі (со,, jXk + cokXkj) = (coy, , - со,, у)XkYj = 2 do) (X, Y). (85) С помощью (79) получаем искомое равенство

dco(X, Y) = V2JX(O1 Y)-Y(co, Х)-(о), [X, Y])}, (86) где вместо производной Ли SxY написана скобка Ли [X, Y].

4. Ковариантное дифференцирование

Настоящий параграф посвящен другому типу дифференцирования, введение которого, в отличие от внешнего дифференцирования и дифференцирования Ли требует, чтобы многообразие было наделено дополнительной структурой. Этой дополнительной структурой является аффинная связность V, которая для каждого векторного поля X на многообразии M задает дифференциальный оператор Vx, отображающий произвольное векторное поле Y в векторное поле VxY. Аффинная связность должна удовлетворять следующим условиям:

а) векторное поле VxY линейно по аргументу X, т. е.

V/x+gYZ = /VxZ + ?VYZ (X, Y, Z ? Tl)9 (87)

где fug — любые две функции, определенные на Af;

б) векторное поле VxY линейно по аргументу Y, т. е.

Vx(Y + Z) = VxY + VxZ (X, Y, Z ? Tl)] (88)

в) VxZ=X/, (89) где / — произвольная функция на М, и наконец,

г) VX(/Y) = (VX/)Y+ /VxY. (90)

32

Глава 1. Математический аппарат

Следует отметить, что в соответствии с (89) в локальном координатном базисе (dk) результат действия оператора V^ на функции совпадает с частной производной по координате xk.

С помощью оператора Vx, действующего на векторное поле Y ( G То) и подчиняющегося правилам а) — г), можно определить ковариантную производную VY вектора Y как тензорное поле типа (1, 1), отображающее контравариантное векторное поле X в поле VxY, т. е.

VY(X) = (VY, X) = VxY (91)

для каждого X ? Го. В этих обозначениях соотношение (90) принимает вид

V(/Y) = d/® Y + /VY. (92)

Полезно переписать VxY относительно некоторого выбранного базиса (е*) и дуального к нему базиса (е'), чтобы пояснить, что означает задание аффинной связности. Пользуясь правилами а) — г), запишем

VxY = Vx (К''еу) = (XYi) е/ + Yl vxe7. (93)

Поскольку Vx^ при фиксированном е7- есть тензор типа (1, 0), должно существовать представление вида

Vxe/ = o/(X)e/f (94)

где o)y — 1-формы (зависящие от / и /). Поэтому

VxY = (XK7J е7 + F7O)J (X) Є/. (95)

С другой стороны, соотношение (93) можно переписать следующим образом:

VxY = (XГ'еу) + W Vx^e, = (X W) Є/ + Y1X* Vefte„ (96; или, используя (94),

VxY = (XY}) еу + Y1X1Wj (ek) е/. (97)

Обозначим через

<o/(eA)=G>{-A (98)

коэффициенты при ek в разложении о)/ по базису (ek). Из вышеизложенного можно заключить, что задание аффинной связности V означает задание іг 1-форм о>/ или, что эквивалентно, я3 скалярных полей соу^.

Возвращаясь к соотношению (95) и переписывая его в виде

VxY=[XK7 +- O)J(X) Y1Uh (99)

находим выражения для компонент:

(VxY)'' = XW+ (0{'(X)W. (100)

4. Ковариантное дифференцирование

33

В локальном координатном базисе (dky AX1) соотношение (100) принимает вид

(4Y)' = + Yl(ui'» = Y'k + у!(0>ь- (101)

Отметим, что в локальном координатном базисе принято писать

T\k вместо со/*- (102)

Используя точку с запятой для обозначения ковариантной производной (в отличие от запятой, обозначающей обычную частную производную), получаем стандартную формулу:

Y{k = Y{k + YlrU. (103)

В общем случае определение ковариантных производных векторных полей может быть распространено на тензорные поля, если потребовать, чтобы операция V удовлетворяла правилу Лейбница при действии на тензорные произведения. Потребуем поэтому, чтобы
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed