Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем будут рассматриваться только гладкие тензорные поля, и это будет подразумеваться, даже если слова «гладкое» и «поле» будут опущены.
а. Внешнее дифференцирование. Операция d внешнего дифференцирования превращает р-форму в (р + 1)-форму при выполнении следующих правил:
а. Действуя на функцию (нуль-форму) / оператором d, получаем 1-форму d/, определяемую соотношением
d/(X) = (d/, X) = X/
для каждого X ? Го. В частности, в локальном координатном базисе
d/ = JLdjc/. дх1
б) Если A1 и A2 — две р-формы, то
d (GbA1 + ?A2) = а dAx + ? dA2 (а, ? ? /?1).
в) Если А — р-форма, а В — ^-форма, то
d(A Л В) = dA Л В +(—I)PA Л dB. г)- Справедлива лемма Пуанкаре:
d (dA) = О
для любой р-формы А.
Необходимо убедиться, что оператор d, подчиняющийся вышеприведенным правилам, хорошо определен. Рассмотрим сначала внешнюю производную р-формы А, учитывая правила а, б и г:
dA = d (Aj1... /р d*'1 Л ... Л = dAfl... ip Л dx'1 Л - • - Л dx'* =
= 'і- JLdxk Л dx'i Л • - • Л dx;p. (62)
Нужно убедиться в том, что форма dA, задаваемая соотношением (62), не зависит от выбора локального координатного базиса. Действительно, если вместо локальных координат (х')
28
Глава 1. Математический аппарат
выбрать другой набор локальных координат (*/'), то из соотношений (24) и (47) следует, что
A, Ґ=А. . (63)
откуда получаем
d(Aj{ ...,^dX'1'Л ... AdX1P) =
\ р а*1 дх'р J
= ±X!L ... ^dA11..., Л d*;i Л ••• Л ^ +
. . . *?. Л d/ Д Д...Д ^ + ... +
дх дх'1 дх1* дх>р 1 р
+ Ц^-^г\... /pd/ Л d*"' Л ... Л dxt. (64)
^ 1 дх1»-1 dxk дх}р р
Все члены в правой части соотношения (64), в которые входят вторые производные функций Xі 1 (i = 1, р), равны нулю вследствие симметрии вторых производных по индексам k! И Ji и антисимметрии по тем же самым индексам базисных элементов во внешнем произведении, и единственный неисчезающий член в (64) есть первый член, равный
UAi1... ip Айх'г /\ ... /\ Ux1p = A(Ai1... ipdx^ А ... AdxV).
Следовательно,
d ... ;.< d*'' Л ••• Л d/p) = d (Ah jp d*'' Л ... Л d*''"), (65)
что доказывает независимость dA от выбора локального координатного базиса.
Убедимся теперь, что правило в) совместно с выражением (62) для dA. Действительно, используя правила а), б), и г), получаем
d (А Л В) = d (Af1... /р dx'i Л ... Ad*7* Л V-^d**1 Л •••A
Д dx ") = дхс dx' Л dx'i Л • • • Л Ax'р Л Л B4 ... kqdxk* д ... д аЛ + Af1... Ip " dx1 Д djf'i д ... д
3. Дифференциальные формы
29
Л Axh Л d**i Л • • • Л dA = dA Л В + (-IfAi1... /pdx''i Л • • • Л
Л йх'р Л <ur' Л dV' Л • • • Л dA) =
= dA Д В + (—1)" А Л dB. (66)
Наконец, из (62) имеем
1дЛ1 1ь-
d (dA) = d /р dbc* Л dx'i Л • • • Л Лзс'р
д2Л
= d*' Л d** Л dx'i Л • • • Л d*'* ее 0, (67)
что доказывает непротиворечивость правила г). Следовательно, оператор d действительно хорошо определен. ,
б. Скобка JIu и производная Ли. Скобка Ли [X, Y] любых двух векторных полей XhY определяется соотношением
[X, Y]/ = (XY-YX)/=X(Y/)-Y(X/). (68)
Скобка Ли двух касательных векторов есть снова касательный вектор, поскольку
[X, Y](a/f ?*) = a[X, Y]/ + ?[X, Y] g, (69)
[X, Y](fe) = ?[X, Y]/ + /[X, Y] g (70)
для любых двух функций / и g и любых двух действительных чисел а и р. Первое из этих двух равенств очевидно, доказательство второго требует несложных выкладок:
[X, Y] (fg) = X Wg) - Y (Xfg) = X (g\f + fYg)'~ Y (gXf + fXg) =
= gX Y/ + (Xg) (Y/) + (X/) (\g) + /X Yg -
-№/ +(X/) (Yg)+(Y/) (Xg)+/YXg)^g[X, Y]/ + /[X, Y]g.
(71)
Соотношение (69) показывает, что скобка Ли есть линейный оператор, а из соотношения (70) следует, что скобка Ли — некоторая операция дифференцирования.
Легко проверить, что скобка Ли удовлетворяет тождеству Якоби
[[X, Y] Z]+ [[Y1 Z]9 X] + [[Z1 X], Y] = O. (72)
Выше было показано, что скобка Ли двух касательных векторов XhY есть также касательный вектор. Компоненты этого вектора относительно локального координатного базиса можно получить, подействовав скобкой Ли на функции
[X, Y]y = (XY - YX) Xі = XY1' - YX1' = XV ,k - YkXj tk, (73)
зо
Глава 1. Математический аппарат
где, как уже указывалось выше, запятая перед индексом обозначает частную производную по локальной координате, имеющей тот же индекс.
Очевидно, что скобка Ли [dfe, dj] тождественно равна нулю.
Скобка Ли [X, Y], рассматриваемая как операция дифференцирования, называется производной Ли вектора Y по направлению X. Имеем
SxY = [X, Y] = - [Y, X] = -SYX. (74)
В общем случае производная Ли SxT тензорного поля T данного типа есть тензор того же типа, удовлетворяющий следующим правилам:
а) производная Ли скалярного поля / равна
Sx/=X/ = d/(X), (75)
б) производная Ли векторного поля Y равна
SxY = [X, Y], (76)
в) на тензорных полях производная Ли есть линейный оператор, действие которого на тензорное произведение определяется правилом Лейбница:
Sx (S ® T) = SxS ® T + S ® SxT, (77)
