Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр: в 2-х томах" -> 9

Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2-х томах — M.: Мир, 1986. — 276 c.
Скачать (прямая ссылка): mathem-theory.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 97 >> Следующая


Свертка тензора типа (r, s), имеющего компоненты 7\*...; по контравариантному индексу /р и ковариантному индексу /д, есть тензор типа (г — 1, 5 — 1):

ТІ O/U-'/Sx ® • • • ® %-х ® %+х ® • • • ® % ®

® е'1 ® ... ® e'V-i ® eVi ® ... ® e7's (48)

компоненты этого тензора получаются из компонент исходного тензора суммированием по всем совпадающим значениям k кон-травариантного индекса ip и ковариантного индекса jq. С помощью соотношений (23) и (47) легко проверить, что процесс свертки не зависит от выбора базиса.

Тензор типа (0, 2) называется симметричным, если

T(X, Y) = T(Y, X), (49а)

и антисимметричным, если

T(X, Y) = —T(Y, X) (496)

для всех XhYb Тр. Из соотношений (49) следуют соотношения для компонент:

T1J = Tj1 или Ти = —Тп. (50)

3. Дифференциальные формы

25

В общем случае тензор типа (г, s) называется симметричным или антисимметричным по _ковариантным индексам і и /, если

T(о1, . . ., cos . ., о/, ... (or, X1, . . ., X5) =

= ±Т (о1, ... ог, X1, ..., X8) (51)

для всех о) и X. Подобным же образом определяются симметрия и антисимметрия по контравариантным индексам.

3. Дифференциальные формы

Один класс тензоров вследствие его важности следует рассмотреть особо. Это класс полностью антисимметричных тензоров, т. е. ковариантные тензоры типа (0, s), полностью антисимметричные по каждой паре аргументов:

T(X1, Xj, Xj, X8) =

= -T(Xlf X7, X,, X8) (52)

для всех пар индексов і и / и всех X. Полностью антисимметричный тензор можно построить, подействовав на произвольный тензор типа (0, 5) оператором антисимметризации Л, определяемым следующим образом:

AT(X1, ...,X8) =.-- (1/s!) S sgn(/b .. .,/S)T(Xy1, .... X/s), (53)

где суммирование производится по всем s\ перестановкам s целых чисел (1, 5), a sgn (/ь J8) = +1 в зависимости от того, четное или нечетное число перестановок нужно сделать, чтобы из набора (/ь /8) получить набор (1, ...,5). Соотношение (53) должно выполняться при любом наборе векторов (X1, ...,'X8).

Ясно, что если T — полностью антисимметричный тензор, то в результате действия оператора А снова получится тензор Т. Если же s > п (п — размерность векторного пространства), то при действии Л на T получится нуль; другими словами, не существует полностью антисимметричного тензора типа (0, s) при s > п.

Полностью антисимметричные тензоры типа (0, 5) называются s-формами. Поскольку значение s-формы при совпадении любых двух аргументов должно быть равно нулю, размерность векторного пространства, образуемого s-формами, равна n\/s\ (п—5)!. Для этого пространства принято обозначение AsTp.

' Пусть Tjv ...,js — компоненты тензора типа (0,5) относительно базиса

є'** ® ... ® еЧ

Тогда, если тензор Tj1, /s полностью антисимметричен, то его n\ls\ (п —5)! существенных компонент можно получить, располагая индексы в монотонно убывающей последовательности:

Tj1.....V /і>/2> ... >/s. (54)

26

Глава 1. Математический аппарат

Базис пространства ASTP можно получить действием оператора антисимметризации А на базисные элементы тензорного произведения:

A (e;i (g) .. . ® ё7*).

Построенные таким образом базисные элементы можно записать в виде внешнего произведения форм е/':

eyi Л еу'2 Л - • - Л e/s {J1 > /2 > ... > js). (55)

В общем случае s-форма имеет следующее разложение:

Q=Qy1... ,,е'їДе'» Л ••• ЛеЧ (56)

где суммирование производится теперь только по всевозможным монотонно убывающим последовательностям чисел Z1 > J2 >••• ••¦> /V

Перестановка пары индексов эквивалентна перестановке соответствующих элементов во внешнем произведении. Отсюда следует, что перестановка элементов во внешнем произведении должна сопровождаться изменением знака:

е/ Де* = — е* Л е/- (57)

Разложение 5-формы в локальном координатном базисе имеет следующий вид:

? = Q;i.../sd^A ... Adx4 (58)

Пусть даны произвольные р-форма й1 и ^-форма й2. Можно определить их внешнее произведение правилом

й1 Л Й2 = А (Й1 ® Й2). (59)

Внешнее произведение /?-формы и ^-формы есть (р +^)-форма (следовательно, она должна тождественно равняться нулю, если P + q >п).

Внешнее произведение форм явным образом удовлетворяет ассоциативному и дистрибутивному законам, но, вообще говоря, не коммутативно. Действительно, по определению произведения

й1 л й2 = H1... ,Vі Л • • • Л е/р) Л К... */1 Л • • • Л е*'), (60)

где (J1 ... Jp) и (^1 ... kq) — монотонно убывающие последовательности. Имеем отсюда

й1 л q2=(-if К... ^ л... л е*) (Q)1... л... Л е'*) =

= (— 1Гй2д й1, (61)

поскольку, чтобы получить требуемый порядок 1-форм, нужно каждый из q базисных элементов е\ екя подвергнуть р перестановкам.

3. Дифференциальные формы

27

До сих пор тензоры и дифференциальные формы были определены в точке многообразия. Расширим теперь основные определения так, чтобы иметь возможность рассматривать поля, определенные на многообразии М. Будем говорить, что на M задано гладкое тензорное поле Trs (M) (или просто Ts) типа (г, s), если в каждой точке р ? M задан элемент из Trs (р), и компоненты Trs относительно любого локального координатного базиса — гладкие функции координат. Такое расширение основных определений необходимо для формулировки понятий, связанных с дифференцированием.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed