Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
V (S ® T) = VS ® T + S ® VT (104)
для любых двух тензорных полей ShT. Непосредственным следствием этого требования является соотношение (ср. с формулой (84))
Vx(T(COi, .... о/, Y1, .... Y5}== (VxT)(Wi, to', Y,, Y8) + + T(VxO)1, to2, .... «У, Y1, Y8)+ ... +
+ T(O)'.....о/, Y1, Ys_,, VxY5). (105)
Таким образом, если О есть 1-форма, то для каждого векторного поля Y предыдущее уравнение дает
Vx (Q (Y)) - (VxO)7 (Y)/ + Q (VxY), (106)
разлагая по компонентам в локальных базисах (ег) и (е/), имеем Vx (QjYl) = (VxO)/ Yl + Q/ (VxY)/. (107)
Используя правило в) и уравнение (100), находим (VxO)/ Y1' = (XQ1) Y1 + Qy (KY') - Q, [XY1 + У'©{ (X)] =
= (XQj) Y' — Q1(H1J (X) Y'. (108)
Следовательно,
(VxO)y- XQj-Q1Hi](X), (109)
или
VxO = [XQz-Qi(Oy(X)Ie''. (ПО)
Для специального случая О = е' получаем формулу
Vxe7 = —<о{(Х)е', (111)
которую нужно сопоставить с формулой (94). Уравнение (111) показывает, что если принимается правило Лейбница для тен-
2 Чандрасекар С.
34
Глава 1. Математический аппарат
зорных произведений, то задания п" 1-форм со' достаточно также и для определения ковариантных производных 1-форм.
Заметим, что в локальном координатном базисе уравнение (109) принимает вид
Q/; k - Q/, , - Q1V1^. (112)
Применим соотношения (109) и (112) к 1-форме df. Поскольку компоненты df в локальном координатном базисе равны
Л,* = /. /* -/. /Г{*; (ИЗ)
переставляя в этом уравнении индексы / и k, получим
/;*/ = /.*/-/./ГІ/. (114)
Частные производные от функций перестановочны, поэтому вычитание уравнения (114) из уравнения (113) дает
/;/*-/;*/- -Л / (Г}* - ГІ,). (115)
Правая часть уравнения (115) не равна нулю, только если аффинные связности несимметричны. В этом случае существует общепринятое обозначение
Tlfk = - (rlik-Tlki). (116)
Используя это обозначение, перепишем соотношение (115):
f,ik-f,ki = Tljltf,i- (117)
Из уравнения (115) следует, что T1Jk — компоненты тензора типа (1, 2). Этот тензор называется тензором кручения. Общее определение тензора кручения будет дано в § 5.
Возвращаясь к уравнению (105), заметим, что с помощью уравнений (99) и (109) легко выписать ковариантную производную произвольного тензорного поля. Например,
S1I I = S^i + sfrL + SfTL - S1J[Tf1. (і 18)
а. Параллельный перенос и геодезические. Пусть Y — контра-вариантное векторное поле. Рассмотрим его изменение вдоль кривой К на М. Изменение векторного поля вдоль кривой 6Y можно рассматривать как перенос вектора Y вдоль кривой, вызванный изменением параметра / -W + о/ на кривой К. Приращение вектора 8Y в локальной координатной системе (xk) равно
(bY)f = Y[k d**(*(/)) ot. (119)
В евклидовой геометрии в декартовой системе координат вектор Y «переносится параллельно» вдоль кривой K1 если SY = 0. В общем случае дифференцируемого многообразия существует
4. Ковариантное дифференцирование
35
аналогичное определение: вектор Y переносится параллельно вдоль кривой X9 если
(DY)7 = (VaJ)7' dxk§(t)) 6t~ Y{k tok?W 6/.= 0, (120) или иначе
(Y'.H + Y'rb) dxk%(t)) 6f = 0. ^ (121)
Другими словами, при таком определении изменение вектора Y при параллельном переносе вдоль кривой X равно (ср. с соотношением (119))
(6Y)7 = —YlT\k d**ff(/)) Ы. (122)
В частности, чтобы касательный вектор сЫ' (X (t))/dt к кривой X параллельно переносился вдоль X9 необходимо выполнение следующего равенства:
w(xv)) ) ^ _г/ & (x (0) &xk (x (t)) ы ,, 23)
dt j ~ lk dt dt ' ^ '
Кривая X на M называется геодезической, если касательный вектор к этой кривой при параллельном переносе остается пропорциональным самому себе, т. е.
d*' (x (/)) г/ dxl (x (t)) dxk (x (t)) я.
—ш--iik—tt--dt—ы =
где ф (t) — некоторая функция t. В пределе 8t ~> 0 получается следующее уравнение геодезической:
-di^^tik4f-dt = ^W иг- (125)
Легко проверить, что если вместо параметра / вдоль кривой X ввести новый параметр
S = Jdr ехр{ J (К>(0}, (126)
то уравнение (125) примет более простой вид:
JlV1, / dxl dxk 19 .
Параметр 5, при котором уравнение геодезической принимает вид (127), называется аффинным. Следует отметить, что аффинный параметр определен однозначно с точностью до сдвига начала отсчета и постоянного масштабного фактора. 2*
36
Глава 1. Математический аппарат
5. Формы кривизны
и уравнения структуры Картана
Если многообразие наделено связностью, то можно построить два отображения:
T(X, Y) = VxY-VyX-[X, Y], (128)
R(X, Y) = VxVy - VyVx - V[X, Y], (129)
где XhY — два контравариантных векторных поля. Первое из этих отображений называется кручением, а второе — кривизной. Как видно из определений, оба отображения антисимметричны по своим аргументам.
Рассмотрим сначала кручение. Нетрудно убедиться в том, что отображение T линейно по аргументам X и Y:
. T(X+Y, Z) = T(X, Z)+ T(Y, Z) (X, Y, Zer'o), (130) а также
Г(/Х, Y) = /T(X, Y), (131)
где f— произвольная функция. (Для доказательства утверждения (131) нужно воспользоваться тождеством
