Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что при замене одного набора локальных координат (х1) другим набором (хг) соответствующие выражения для Ф\- и Ф) имеют вид
ФН^1 ,24)
Функция /, заданная на многообразии, определяет 1-форму d/, которая любому вектору X ? Тр ставит в соответствие число по следующему правилу:
d/(X) = (d/, X)=X/. (25)
В локальном координатном базисе
Х = Х'-д-. (26)
дх1 v ;
и по определению
(Af, X) = W JL = VIu (27)
в частности,
б{. (28)
Следовательно, 1-формы (d составляют локальный координатный базис в пространстве ковариантных векторов, дуальный локально-координатному базису (dj = д/дх!) касательного пространства. Базисы (dj) и (dxi) иногда называют каноническими базисами касательного и дуального к нему пространств.
22
Глава 1. Математический аппарат
Отметим, что если
d/ = ajdx/, (29)
то из соотношений
Х'Д, = (d/, X) = (aj W9 ХЩ = аД' (d*', O1) = щХ* (30) следует, что
«і = /,*; *f = Lidx*. (зі)
Последнее соотношение совпадает с обычной формулой для дифференциала функции.
е. Тензоры и тензорные произведения. Пусть
ш = т; X • ¦ ¦ Xг; XтрX • ¦• хТр (32)
есть прямое произведение г дуальных пространств Т*р и s касательных пространств Tp в некоторой точке р многообразия, т. е. пространство упорядоченных наборов г 1-форм и s касательных векторов (о1, o)r, X1, X8). Рассмотрим полилинейное отображение T многообразия Ш на множество действительных чисел:
Т: III-+R1. (33)
Отображение однозначным образом сопоставляет любому данному упорядоченному набору г 1-форм и s касательных векторов действительное числом
Т(о)1, o)r, X1, X8) = Действительное число. (34)
Условие полилинейности функции (34) есть (г -f-s) условий линейности по каждому из аргументов, например:
Т>1, _ aX+?Y, X2, X8) =
= аТ(ы\ . . ., юг, X, X2, .. ., Xs) + ?T(o)1, . . ., o)r, Y, X2, . . . X8)
(35)
для всех a, ? ? R1 и X, Y ? Гр. Определенное таким образом полилинейное отображение называется тензором типа (г, s). Линейные комбинации тензоров данного типа (г, 5) определяются правилом
(aT + ?SHu)1, о/, X1, Хв) =
= аТ{&\ ...,oS X1, Xs)-b?S(ol, ...,oS X1, X5) (36)
для всех a, ? G R\ ? и X7- ? Гр (/ - 1, г; / = 1, ...
s). Из (36) следует, что тензоры типа (г, s) образуют линейное векторное пространство размерности nr+s. Пространство таких тензоров называется пространством тензорных произведений, и для него принято обозначение
Ts(P) = Тр ® •. - ® Тр ® Tl ® • • - (8) Г;. (37)
2. Элементы дифференциальной геометрии
23
Покажем, что базисом тензорных произведений типа (г, 5)
служат nr+s специальных отображений, определяемых соотношениями
e{j:::^((01, .... х,, xs) =
= е{;:::(:(4/1, щ*\ .... *'ч) -
= CoI1 . . . (o'xi1 . . . Xs's. (38)
Эти отображения очевидным образом линейны по каждому аргументу и являются тензорами типа (г, s). Другим эквивалентным определением этих отображений является следующее соотношение:
^::: (Л .... е\ e/i.....е J = 6?... 6? ... 6?. (39)
Возможность выразить любой тензор типа (г, 5) в виде линейной комбинации отображений (39) следует из полилинейности. Действительно,
T (со1, о/, Xi, Xs) = T Ц/1, щъг, X(1Cy1, XsSeyJ =
= CoI1 . .. щХ[г • .. Xi8T (е'\ . . ., еЧ e,v . . ., ej, (40) и, вводя обозначения
т(е1-1.....еЧ Є/і,.... е/в) = г!;(4і)
приходим к искомому разложению (ср. с формулой (38))
1-^::;?::;?. (42>
Очевидно, что отображения (39) линейно независимы и, следовательно, являются базисом тензоров типа (г, 5). Число этих базисных
элементов е^:::^ равно n+s — размерности пространства Trs>
Коэффициенты 71Ji''.'^ в разложении (42) называются компонентами тензора T относительно выбранного базиса.
В общем случае пространства базис тензоров типа (г, s) можно записать как тензорное произведение дуальных базисов (ег) и (е/) пространств Тр и Т*р соответственно:
е{[::: {• = efi ® ... ® е,г ^e'1®...® e/s. (43)
Действительно, тензорное произведение
Yx 0 .. . ® Yr ® й1 ® ... Й5 (44)
24
Глава 1. Математический аппарат
г касательных векторов и s 1-форм есть такой элемент пространства Trs, который сопоставляет элементу пространства (о1, ... o)r, X1, Xs) число
Y1) ... (UiT9 Yr)(Q1, X1) ... (?s, X8). (45)
В частности,
[e{j ® .. . ®е?-г ® е'1 ® ... ® e/s) (о1, ..о/, Xi, ..., X5) =
= (О)1, Є,х) . . . (©, е,г)(е\ X1) . . . (e/s, X5) =
= ^... co^I1 ... xis = е(;:::^(©1,.... «Л хьxs), (46)
что оправдывает выражение (43).
Если вместо дуальных базисов (е^) и (е>) выбрать другие дуальные базисы (е^) и (e''), то из соотношений (22) следует, что компоненты тензора относительно нового базиса
е.' ® . . . ® е.^ ® e;i ® ... (g) e/s
связаны с компонентами тензора относительно прежнего базиса соотношениями
T1i"' l'r. -~- ф'1 ®ігф1\ ф'іт'1 "'(r (47)
/l ••• is M ' ' " V /l ' ' is Іл ••• V V '
S