Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр: в 2-х томах" -> 8

Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2-х томах — M.: Мир, 1986. — 276 c.
Скачать (прямая ссылка): mathem-theory.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 97 >> Следующая


Заметим, что при замене одного набора локальных координат (х1) другим набором (хг) соответствующие выражения для Ф\- и Ф) имеют вид

ФН^1 ,24)

Функция /, заданная на многообразии, определяет 1-форму d/, которая любому вектору X ? Тр ставит в соответствие число по следующему правилу:

d/(X) = (d/, X)=X/. (25)

В локальном координатном базисе

Х = Х'-д-. (26)

дх1 v ;

и по определению

(Af, X) = W JL = VIu (27)

в частности,

б{. (28)

Следовательно, 1-формы (d составляют локальный координатный базис в пространстве ковариантных векторов, дуальный локально-координатному базису (dj = д/дх!) касательного пространства. Базисы (dj) и (dxi) иногда называют каноническими базисами касательного и дуального к нему пространств.

22

Глава 1. Математический аппарат

Отметим, что если

d/ = ajdx/, (29)

то из соотношений

Х'Д, = (d/, X) = (aj W9 ХЩ = аД' (d*', O1) = щХ* (30) следует, что

«і = /,*; *f = Lidx*. (зі)

Последнее соотношение совпадает с обычной формулой для дифференциала функции.

е. Тензоры и тензорные произведения. Пусть

ш = т; X • ¦ ¦ Xг; XтрX • ¦• хТр (32)

есть прямое произведение г дуальных пространств Т*р и s касательных пространств Tp в некоторой точке р многообразия, т. е. пространство упорядоченных наборов г 1-форм и s касательных векторов (о1, o)r, X1, X8). Рассмотрим полилинейное отображение T многообразия Ш на множество действительных чисел:

Т: III-+R1. (33)

Отображение однозначным образом сопоставляет любому данному упорядоченному набору г 1-форм и s касательных векторов действительное числом

Т(о)1, o)r, X1, X8) = Действительное число. (34)

Условие полилинейности функции (34) есть (г -f-s) условий линейности по каждому из аргументов, например:

Т>1, _ aX+?Y, X2, X8) =

= аТ(ы\ . . ., юг, X, X2, .. ., Xs) + ?T(o)1, . . ., o)r, Y, X2, . . . X8)

(35)

для всех a, ? ? R1 и X, Y ? Гр. Определенное таким образом полилинейное отображение называется тензором типа (г, s). Линейные комбинации тензоров данного типа (г, 5) определяются правилом

(aT + ?SHu)1, о/, X1, Хв) =

= аТ{&\ ...,oS X1, Xs)-b?S(ol, ...,oS X1, X5) (36)

для всех a, ? G R\ ? и X7- ? Гр (/ - 1, г; / = 1, ...

s). Из (36) следует, что тензоры типа (г, s) образуют линейное векторное пространство размерности nr+s. Пространство таких тензоров называется пространством тензорных произведений, и для него принято обозначение

Ts(P) = Тр ® •. - ® Тр ® Tl ® • • - (8) Г;. (37)

2. Элементы дифференциальной геометрии

23

Покажем, что базисом тензорных произведений типа (г, 5)

служат nr+s специальных отображений, определяемых соотношениями

e{j:::^((01, .... х,, xs) =

= е{;:::(:(4/1, щ*\ .... *'ч) -

= CoI1 . . . (o'xi1 . . . Xs's. (38)

Эти отображения очевидным образом линейны по каждому аргументу и являются тензорами типа (г, s). Другим эквивалентным определением этих отображений является следующее соотношение:

^::: (Л .... е\ e/i.....е J = 6?... 6? ... 6?. (39)

Возможность выразить любой тензор типа (г, 5) в виде линейной комбинации отображений (39) следует из полилинейности. Действительно,

T (со1, о/, Xi, Xs) = T Ц/1, щъг, X(1Cy1, XsSeyJ =

= CoI1 . .. щХ[г • .. Xi8T (е'\ . . ., еЧ e,v . . ., ej, (40) и, вводя обозначения

т(е1-1.....еЧ Є/і,.... е/в) = г!;(4і)

приходим к искомому разложению (ср. с формулой (38))

1-^::;?::;?. (42>

Очевидно, что отображения (39) линейно независимы и, следовательно, являются базисом тензоров типа (г, 5). Число этих базисных

элементов е^:::^ равно n+s — размерности пространства Trs>

Коэффициенты 71Ji''.'^ в разложении (42) называются компонентами тензора T относительно выбранного базиса.

В общем случае пространства базис тензоров типа (г, s) можно записать как тензорное произведение дуальных базисов (ег) и (е/) пространств Тр и Т*р соответственно:

е{[::: {• = efi ® ... ® е,г ^e'1®...® e/s. (43)

Действительно, тензорное произведение

Yx 0 .. . ® Yr ® й1 ® ... Й5 (44)

24

Глава 1. Математический аппарат

г касательных векторов и s 1-форм есть такой элемент пространства Trs, который сопоставляет элементу пространства (о1, ... o)r, X1, Xs) число

Y1) ... (UiT9 Yr)(Q1, X1) ... (?s, X8). (45)

В частности,

[e{j ® .. . ®е?-г ® е'1 ® ... ® e/s) (о1, ..о/, Xi, ..., X5) =

= (О)1, Є,х) . . . (©, е,г)(е\ X1) . . . (e/s, X5) =

= ^... co^I1 ... xis = е(;:::^(©1,.... «Л хьxs), (46)

что оправдывает выражение (43).

Если вместо дуальных базисов (е^) и (е>) выбрать другие дуальные базисы (е^) и (e''), то из соотношений (22) следует, что компоненты тензора относительно нового базиса

е.' ® . . . ® е.^ ® e;i ® ... (g) e/s

связаны с компонентами тензора относительно прежнего базиса соотношениями

T1i"' l'r. -~- ф'1 ®ігф1\ ф'іт'1 "'(r (47)

/l ••• is M ' ' " V /l ' ' is Іл ••• V V '

S
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed