Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Lee (1960) показал, что многие электронные схемы обнаруживают линейное инвариантное по времени поведение. Akaike, Kaneshige (1964) рассматривали вход X (t) и выход Y (t) нелинейной схемы и провели оценку некоторых статистик, обсуждаемых в этой главе.
Goodman и др. (1961), Jenkins (1963), Nakamura (1964), Nakamura, Murakami (1964) обсуждали приложения в индустрии.
Takeda (1964) использовал многомерный спектральный анализ в исследовании поведения самолетов.
В качестве примера приложений в экономике сошлемся на книги Granger (1964) и Fishman (1969). Nerlove (1964) использовал многомерный спектральный анализ для изучения некоторых сезонных эффектов. Neylor (1967) изучал свойства моделей в текстильной промышленности.
Результаты Khatri (1965b) могут быть использованы для построения критериев проверки гипотезы Im A (X) = О, —оо<Х<оо или а(и)=а(—и), и = 0, ±1, ... . Последнее имеет место, если связь Y (t) и X(t) обратима во времени.
Ряд интересных приложений в физике приводит к рассмотрению интегрального уравнения
g(t) = $f(t) + \b(t—,u)f(u)du. (6.13.1)
относительно f(t) при заданных g(t)> (3, b(t). Для приближенного решения этого уравнения можно использовать его дискретный аналог
8T(O = Pf(O+ 21 b(u)f(t-u), f = 0, ±1, (6.13.2)
u=-N
последний решается обращением матрицы. Запишем выражение
(6.13.2) в виде
У (O = S-X (t- и) а (u) + e(t), (6.13.3)
U
где ряд e(t) может означать ошибку приближения при дискретизации X (0) = рг+Ь (0), X (и) = Ь (и), u^0,Y(t)=g(t). Система
(6.13.3) рассматривалась на протяжении этой главы, так что другой путь решения (6.13.1)—использование многомерного спектрального анализа и выбор а{Т) (и) согласно (6.8.2), как аппроксимации функции f(t).
В этой главе основное внимание уделялось A(X) и а (и). Однако следует отметить ситуацию, где большой интерес представляет исследование спектра ошибок. Рассмотрим модель
Y (t) = ix + %a(t — u)X(u) + e (t) (6.13.4)
и
с Slи І Iа (и)\ < 00 • ^ас интересует а (/), ? = 0, ±1, приводящее к сигналу небольшой продолжительности. Пусть
f 1, * = 0,
Выражение (6.13.4) приобретает вид
Y(t)=[i + a(t) + E'(t). (6.13.6)
Наблюдаемый ряд Y (Z) является суммой интересующего нас ряда [і.+в (t) и кратковременного ряда a (Z), в котором мы, возможно, не заинтересованы. В этой главе была предложена оценка для feE(k) изучаемого спектра мощности. Мы просто строили gQ (X) по наблюдениям Y (Z), Z = O, ..., Т — 1, и X (Z) согласно (6.13.5). Эта оценка имеет смысл даже в том случае, когда присутствует нежелательный кратковременный ряд одновременно с интересующим нас рядом. Распределение величины g(? (X) будет приближенно многомерным распределением хи-квадрат с 4т степенями свободы в случае использования асимптотической процедуры § 6.4. Прямая оценка (к) по сравнению с этим дает 4т+ 2 степеней свободы. Как видно, мы лишь немного проигрываем в устойчивости, выигрывая в робастности оценки.
6.14. Упражнения
6.14.1. Пусть выполнены условия теоремы 6.2.1 с Еєтє = а2І, замененным на Еєтє = 2. Покажите, что Ea = а и
E (а-а)т (а~-а) = (ХХт)-1 Х2ХТ (XX*)-1-
6.14.2. Пусть выполнены условия теоремы 6.2.1 с Еєтє + а2ї, замененным на EETe = a2V. Докажите, что выражение
(Y-bXfV-^Y —ЬХ)
минимально при
b=YV"1XT (XV-1X^"1.
Покажите, что В —несмещенная оценка с ковариационной матрицей a2 (XV-1X1)"1. Покажите также, что оценка наименьших квадратов a=YXT(XXT)"1 остается несмещенной с ковариационной матрицей a2 (XX^-1 XVXT (XXх)-1.
6.14.3. Сохраняя обозначения теоремы 6.2.3, покажите, что несмещенная линейная оценка ата, минимизирующая дисперсию, где а —вектор размерности k, имеет вид ата.
6.14.4. Пусть X—комплексная случайная величина; покажите, что
D I X |< cov {X, X}.
6.14.5. Сохраняя обозначения теоремы 6.2.3, положим | R |2 = aXXTa.T/YYT. Докажите, что 0<;|#|2s^l. При соблюдении условий теоремы 6.2.4 покажите, что распределение величины (n — k) \ R |2/[&(1 —| R |2)] есть нецентральное F-распределение со степенями свободы 2k, 2(n — k) и-параметром нецентральности аХХтат/а2.
6.14.6. При соблюдении условий теоремы 6.4.2 или теоремы 6.7.1 дока-Жите, что величина Ф(Г> (X) асимптотически равномерна на (0, 2л], если Л (X) = O.
6.14.7. Докажите, что следующее определение асимптотической нормаль-ности является состоятельным. Последовательность Xn векторных г-мерных случайных величин асимптотически нормальна со средним 6„ + 4^jUi и ковариационной матрицей 2„-+-4TnSMT,,, если У"1 (Х„ — 9„) стремится по распределению к Nr(jx, 2), где % есть последовательность /--мерных векторов, a Wn-последовательность несингулярных гХг-матриц.
6.14.8. Сохраняя обозначения упр. 6.14.2, покажите, что (XXT)"XXVXTX Х(ХХТ)"1^(XV-1X)-1. (A^B означает, что А—В неотрицательно определена.)
6.14.9. Докажите, что (К) из (6.5.6) можно записать в виде
Г-1
2 W^T)(U) ?(? (и) ехр {-iuk}9
где wiT) (К) задано выражением
а (и) — выражением
T-I S [Y V)-W][X (t + u)-c<P)\
0< tt t + u < 7-І
6.14.10. Пусть y(t), t = 0, ±1, имеет конечное преобразование Фурье ^_А(г, (X). Докажите, что f$(b)==g(& (К), т. е. оценка спектра ошибок равна спектру мощности ряда остатков.
