Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Как видно, маргинальные распределения диагональных членов fxx(K) асимптотически совпадают с теми, чіо были получены ранее. Диагональные элементы fp (К) имеют предельные распределения х2» указанные в теореме 5.4.3. Стандартизированные элементы, стоящие вне диагонали, имеют асимптотические плотности, приведенные в упр. 7.10.15.
Приближение распределения величины fxx (К) комплексным распределением Уишарта было получено в работе Goodman (1963). Wahba (1968) рассматривал случай гауссовских рядов и т—^оо. Настоящий случай со средним 0 рассматривал Brillinger (1969с).
Результаты, аналогичные теоремам 7.3.1—7.3.3, могут быть также получены для случая сглаженных данных, сгруппированных на L непересекающихся интервалах по V наблюдений в каж-
дом. Положим для — оо < X < оо и 1 = 0, L — 1
№ (X, I) = ? К (f) Xa (V + IV) ехр {- iX (V + IV)}-, (7.3.14)
V = O
где /іа (w), — оо < и < оо, обращается в нуль при а < 0, и^\. Для / = 0, L — 1, определим
Vpx(K 1) = [{2пН%(0)\-Ы?(К I) dp {К Dl <7.3.15)
Как следует из теоремы 7.2.5, оценки \xh(K 1), 1 = 0, ..., L—-1, являются асимптотически независимыми переменными, распределенными как Wcr (1, ixx(X)), если Я=^0 (mod я), и распределенными как Wr (1, (X)), если Я= ± я, ± Зя, ... . Естественно ввести оценку
^P(X) = I-1 S 0. (7-3.16)
/=0
относительно которой справедлива
Теорема 7.3.4. Пусть выполнены условия теоремы 7.3.1, а функция ha(u), а=\, ...,г, равная нулю при «<0, и^\,
удовлетворяет условию 4.3.1 и ^ha(u)hb(u)du=?0. Если оценка fx)? задана выражением (7.3.16), то при V—> оо
( Jt ^ -1 ( я
EfSV) (X) = j J //<Г> (a) Hp (- a)da\ J J Я<^> (а) #f > (- а)
X /вЬ (Я-а) da + Hp (Я) #Г (- Цсась\ — /вЬ (Я), (7.3.17)
где Я ^ О (mod 2я) и а, b—l, г.
Эта теорема непосредственно связана с теоремой 7.2.1 и является ее следствием. Интересно заметить, что взвешенное среднее величины fab, фигурирующей в выражении (7.3.17), сконцентрировано в интервале ширины, пропорциональной V'1.
Теорема 7.3.5. Предположим, что r-мерный векторный ряд X (t), t = 0, + 1. ..., удовлетворяет условию 2.6.1. Пусть функция ha(u), а=\, г, равная нулю при и < 0, и> 1, удовлетворяет условию 4.3.1 и i\ha(u)hb(u)du^O, а оценка (Я) задана выражением (7.3.16). Тогда для X, \афО (mod 2я) и аг, а2, bx, b2 = 1, ..., г,
lim cov \fffi(k)9 !IV2(V)}
»1^-И}/вів,(Л)/ЛА(-Л) + ті{^ + 1і}/в,*.(Л)/».в.М ' ____
7.4. Состоятельные оценки матрицы спектральной плотности
265
По сравнению с выражением (7.2.13) в данном случае моменты второго порядка домножаются на величину 1/L. В большинстве случаев исследователь имеет возможность выбрать L достаточно большим. Таким образом, справедлива ч
Теорема 7.3.6. Пусть Vx^ (Ц задается выражением (7.3.16), тогда при сохранении условий теоремы 7.2.5 оценка і{хх (Ц пРи V—>oo имеет асимптотическое распределение L-1W^ (L, fxx(ty)> если ХфО (mod я) и L-1Wr(L, ixx M)» если ± я, ± Зя,... .
Как и прежде, матрица спектральной плотности аппроксимируется распределением Уишарта. Единственная трудность в приведенной выше процедуре оценивания состоит в том, что она неудовлетворительна при A = O (тос12я). Для этого случая оценка может быть получена экстраполированием по ближайшим частотам. См. также оценку в упр. 7.10.23.
В упр. 7.10.24 приводится асимптотическое распределение оценки
т
«iW- E WsVPx(2n[s(P+S]) (7.3.19)
для неравномерно взвешенных периодограмм.
7.4. Состоятельные оценки матрицы спектральной плотности
Большинство оценок предыдущего параграфа не являлись состоятельными, т.е. в этих случаях i(Xx (X) не сходилась по вероятности к fxx(X) при T—>oo. Эти оценки зависели, однако, от параметров (т или L), влияющих на их асимптотическую изменчивость. Можно надеяться, что те случаи, в которых эти параметры стремятся к бесконечности при T—> оо, позволяют получить состоятельные оценки. В этом параграфе мы убедимся, что это действительно верно. Такие результаты важны скорее для возможности аппроксимации моментов и распределения оценки при больших размерах выборок, чем для непосредственных предполагаемых вычислений.
Рассмотрим выборку X (t), / = 0, Т—1, r-мерного ряда Х(/). Вычислим дискретное преобразование Фурье
T-X
d^(^)=?x(*)exp{-t^}, s = 0, ±1, ...; (7.4.1)
тогда соответствующую периодограмму второго порядка дает выражение
/# (t-S) = (2яГ)№ (?) 4Г) (Щ, e = 0f ±1.....(7.4.2)
где s = 0, ±1, ... . Образуем оценку (Я) как взвешенное среднее этой статистики с весом, сконцентрированным в окрестности точки Я ширины 0(ВТ), где Вт— параметр ширины окна, стремящийся к 0 при Т —>оо.
Пусть весовая функция WаЪ (а), — оо < а < оо, удовлетворяет соотношению
QO
j И7аЬ(а)Лх=1 ' (7.4.3)
— 00
и задана последовательность неотрицательных масштабных параметров Вт, T=I9 2, ... . В качестве оценки для /а&(Я), — оо<Я<оо, а, Ь=\, г, рассмотрим
• = E (Br1 (7.4.4)
s 0 (mod T)
Ввиду периодичности 1$ (а) с периодом 2я последнее равенство можно переписать в виде
