Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 72

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 163 >> Следующая


E |Л}Г> (Я)-Л, (Л) р ^Z)PW-1; (6.11.1)

равенство достигается в случае, когда недиагональные элементы равны нулю. Мы опять видим преимущества того случая, когда недиагональные элементы матрицы i(Px (X) близки к нулю, а диагональные достаточно большие.

Из близости к нулю недиагональных элементов можно извлечь еще некоторые преимущества. Согласно (6.6.4), из этого факта следует почти некоррелированность и почти независимость статистик А)Т)(X), Л^Г)(Х), 1</<&<г, значительно упрощается также их интерпретация и асимптотические свойства.

Для получения приемлемой оценки А(Г)(Х), —оо<Х<оо, следует искать такой процесс X(^), ? = 0, ±1, ..., чтобы матрица f(/^ (а) была близка к константе по а, имела недиагональные члены, близкие к нулю, и достаточно большие диагональные члены. Позднее мы увидим, что такими свойствами обладает ^Xx (а) процесса X(^), который является процессом белого шума с независимыми компонентами, каждая большой дисперсии.

В большинстве ситуаций процесс X(^), t = 0y ±1, предстает перед нами как свершившийся факт, однако, согласно § 6.1,

свойства X (t) легко изменить посредством фильтрации. Можно построить

oo

X1(O= 2 с (/-и) X (и), (6.11.2)

w= - 00

t = О, T—1, для rxr-фильтра {с(и)} и оценить затем передаточную функцию Ai(X), переводящую Y (t) в X1(Z), t = 0, ±1,... .Пусть эта оценка будет Ap(X).' Тогда в качестве оценки для А (X) можем рассмотреть

А{Т) (X) = Ap (X)C(X). (6.11.3)

Из (6.1Л0) и (6.5.14) следует

T-I

EipXl W-S=S Wm (Ь-Щ A (^) С (^)"1 IJSf1 (^),(6-11.4)

из чего заключаем, что нам нужно искать такой фильтр C(X), чтобы A(X)C(X)"1 было не очень большим по X. Такую операцию называют предварительной фильтрацией. Ее применение весьма существенно даже в простых ситуациях. Рассмотрим общую модель, в которой Y (t) связан с X (t) через запаздывающий аргумент v:

Y (t)=aX (t—v)+e (t). (6.11.5)

В этом случае

A (X) = а ехр {—iXv} = се cos Xv—ias'mXv, (6.11.6)

так что

Re{ !>«•> (К-Щ А (*?) ITx (Щ\

¦ =аТ^™ (Х-Щ COS2A^ ITx №). (6.11.7)

S=I ^ ' ^

В случае когда v достаточно большое, знак cos2nsiVT быстро меняется с изменением s. Ввиду сглаживания выражение (6.11.7) будет гораздо ближе к нулю, чем

T-I

acosb (Х-Щ Ipx (Щ . (6.11.8)

S=I

Согласно предыдущему обсуждению, следует использовать предварительную фильтрацию с, передаточной функцией C(X) = = ехр{—iXv\, т. е. выполнять спектральные вычисления с рядом X1^) = X (t—v) вместо X(t). Таким образом, оценим A(X)

выражением ехр{—iku\fYx1(K)If^2 {X). Эту процедуру предложили Darzell, Pearson W. J. (1960), Yamanouchi (1961) и Akaike, Yamanouchi (1962). На практике предполагается использование запаздывания v перед этими вычислениями. Одной из причин выбора запаздывания является стремление максимально увеличить кросс-ковариацию рядов Y (t) и X(t).

В § 7.7 процедура предварительной фильтрации будет обсуждена в случае векторного ряда Х(/). Она основана на методе наименьших квадратов для выбора предварительной временной модели и последующего спектрального анализа ряда X (t) и остатков.

До сих пор мы говорили о путях улучшения оценки А(Г)(Я). Другие оценки gl?(k), а(Г) (и) связаны с этой весьма органично. Поэтому можно ожидать улучшения статистики А(Г) (к) в результате улучшения этих добавочных статистик. В общих словах мы считаем, что лучшей оценкой связи между Y (t) и X(^), t = 0, ±1, будет соотношение в виде множественной регрессии Y (t) по X(t) с ошибками в виде шума. Для сведения этой оценки к такому виду следует использовать все априорные сведения.

Приведем несколько комментариев по поводу вычисления статистик. Оценки основываются на непосредственном использовании дискретного преобразования Фурье рассматриваемых рядов. Это делается для упрощения их выборочных свойств. Естественно, при вычислении дискретного преобразования Фурье имеет смысл пользоваться алгоритмом быстрого преобразования Фурье. Другое важное упрощение результатов следует из того, что оценки §6.4 могут быть получены непосредственно из стандартного множественного регрессионного анализа действительных переменных. Рассмотрим случай к 0 (mod я). Согласно обсуждению из § 6.3, модель (6.1.1) приводит к приблизительному равенству

s = 0, ±1, ±т, для 2ns {T)IT9 близких к X.

Для действительных величин это можно записать в следующем виде:

2п [s (T)+ s] T

(6.11.9)

Re^' (2"1'??+'1) і Re A (X) Re <#> (2^y + '1)

ImdP (*l8V)+8]) ^ReA (X) Imdp (2^)+S]J + ImA(X)Red</>(2jt[sy+s]) + Im eft* (2jt[s(P+sl), (6.11.10)

s = 0, ±1, ±т. Ввиду того что Red(eT) (2л[s(T) +s]/T),

Imd(eT\(2n[s(T) + s]/T)> s = 0, ±1, ±m,— приблизительно

некоррелированные переменные, соотношения (6.11.10) имеют форму множественного регрессионного анализа с матрицей регрессионных коэффициентов

[ReA(X)ImA-(X)] (6.11.11)

и дисперсией ошибок я77е8(Х). Поэтому оценки интересующих нас параметров получаются из множественного регрессионного анализа, если за Y взять матрицу

[Ке^(2п.[5У + 5])1ш^>(2я[^Г)+8]); s = 0, ±1, ...,±m],
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed