Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
О .1 .2 .3 .4 .5
Х/2Я
Рис. 7.2.4. Мнимая часть кросс-периодограммы температур Берлина с температурами Вены. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)
0 .1 .2 .3 .4 ;5
\/2tt
Рис. 7.2.5. Фаза кросс-периодограммы температур Берлина и Вены. (По горизонтали—частоты в цікл/месяц.)
выборка ежемесячных средних температур в Берлине за 1780— 1950 гг. Ряд X2(t)—сезонная выборка ежемесячных средних температур в Вене за 1780—1950 гг. На рис. 7.2.1 и 7.2.2 приводятся периодограммы IiP (X) и Ip (X) этих рядов. На остальных рисунках представлены кросс-периодограммы Re Ip (X), Im Ip (X)9 arg/i2r>(X) соответственно. Все эти графики крайне неустойчивы, что находится в полном соответствии с теоремой 7.2.3, согласно которой периодограмма второго порядка не может быть удовлетворительной оценкой спектра второго порядка.
7.3. Оценка матрицы спектральной плотности путем осреднения периодограммы
Теорема 7.2.4 наводит на мысль о построении достаточно гибкой оценки для \хх (X). Если
Г/і(Л) = (2яГ)^? Х(Оехр{~Ш}Ух.Х(/)ехр {-iXt}) ,
(7.3.1)
то из этой теоремы следует, что для целых s(T), таких, что 2ns(T)IT близко к ХфО (mod я), распределение величин Vpx(2n[s(T)-\-s]/T), s = 0, ±1, ±m, аппроксимируется
2m+1 независимыми распределениями W^(I9 іХХ(Х)). Следова-
7.3. Оценка матрицы спектральной плотности
261
тельно, имеет смысл рассматривать оценку
т
(X) = (2m+l)-i X 1? (2Мі^±?Ґ) при Я#0(modя). (7.3.2)
S= -т
Дальнейшее изучение результатов теоремы приводит к оценке
т
№ <*•) = (2m)-» ? {1? (Я + Щ + ITx (Я- Щ }
m
= m-*?Relft(x+^) (7.3.3)
S=I 4 У
в случае X = O, ±2я, ... или X= ±я, ч=3я, ... и четного Г; в случае же X= Hh я, ± Зя, ... и нечетного T приходим к оценке
т
1? (Я) = (2m)- 2 {1? (Я- f + +1? [х + »._?*-) }
m
= m^?Rel5R(x-i. + ^). " (7.3.4)
S=I ^
Оценки (7.3.2)—(7.3.4) основаны на вычислении дискретных преобразований Фурье dp (2ns/T), ьфО (rnodT), и имеют,- очевидно, те же свойства симметрии и периодичности, что и fy*(X). Относительно этих оценок справедлива
Теорема 7.3.1. Пусть X(t), t = 0, ±1, ..., есть г-мерный векторный ряд со средним значением Cx и кросс-ковариационной функцией схх(и) = cov {X (t + и), Х(/)} для t, U = O9 ±1, ... . Предположим также у что
QO
2 I с*х (м) |< оо, (7.3.5)
и— - 00
а ^хх(Х) задано выражениями (7.3.2)—(7.3.4). Тогда в случае ХфО (mod я)
л
ШТх W = j Атт (a) fxx (?™р.-а) da, (7.3.6)
— Л \
а в случае X = O, ±2я, ... или X= ± я, ± Зя, ... и четного T математическое ожцдание величины ixx (X) равно
л
EfJK(A.)= J Вт"WtxX(X-O.)da; (7.3.7)
наконец, в случае Я = ±я, ±3я, ... и нечетного T имеем для Ef*} (Я) выражение
¦ я
Ef^(A,) = ^CTm(a)ixx(K—a)da. (7.3.3)
- Л
Здесь для — оо < а < оо
4,.-(00 = (2^1+1)-1^)-* ? Д(Г)(а+^) , (7.3.9)
+ |Д(Г) (а-р
(7.3.10)
Вг(а) = (2т)-Ч2яГ)-* ? |Д<П (а+
S=I
S=I
Стт(а) = (2т)-Ч2лТ)-* ? |д<л(а_^ + ^
+ |Д(Г) («+^-
+
2jxs
'. (7.3.11)
Функции Атт (а), ВТт (а), C7,^ (а) являются неотрицательными весовыми функциями. Первая имеет пики в точках а = 0, ±2jt, ± 4я, ... и ширину, равную приблизительно 4ят/Г. Вторая и третья приблизительно также сконцентрированы в интервалах ширины 4ят/Т около точек а = 0, ± 2я, однако имеют провал непосредственно в этих частотах. На рис. 5.4.1 они изображены для Г = 11. Во всяком случае, значение Ef (Я) будет близко к требуемому fxx(h)> если fxx(a) близка к константе в полосе ширины 4ят/Т около Я. Переходя к пределу, получим
Следствие 7.3.1. Если выполнены условия теоремы 7.3.1 и 2jte (T)IT —> Я при T —> оо, то для — оо < X < оо
lim EVpx(X) = ixx (X).
Г->оо
(7.3.12)
Как и следовало ожидать, оценка асимптотически несмещенная. Рассмотрим теперь ее некоторые свойства второго порядка.
Теорема 7.3.2. Предположим, что r-мерный ряд X(t), t = 0, ±1, удовлетворяет условию 2.6.2(/), a fx}(Я) задано выра-
жениями (7.3.2)-(7.3.4), причем К—2ns (Т)/Т = О (T"1). Тогда
cov {/<&(*). /S2(^)}
1H - /fllfl, W /М2 (- Ц+л {К+/а А <Х) /Мг (- X)
если Я^О(тосІя), t|fi-ri/fliflaWfeA(-X) + ^fi + |j}/flAW/Ma(-X) , ^_іч
если A = O (mod я) при —оо < K9 ^<оо. (7.3.13)
Нетрудно видеть, что моменты второго порядка убывают по величине, когда m возрастает. Выбирая т, асимптотически можно устранять изменчивость оценки до желаемого уровня. Как видно, статистики будут асимптотически некоррелированными в случае К± ілфО (mod2tt). Добавим также, что выражение (7.3.13) имеет особенности в точках K9 \і = 09 ±я, ±2я, ... . Это происходит по двум причинам: неизвестно среднее значение сх, кроме того, fxx{K) принимает действительные значения в этих точках. Заметим, что оценка fxx (К) в условиях последней теоремы несостоятельна, однако в следующем параграфе состоятельные оценки будут построены.
Вернемся к дальнейшему развитию приближений по большим выборкам распределения fxx (К)..
Теорема 7.3.3. Пусть r-мерный векторный ряд X (t)9 t = 0, ±1, удовлетворяет условию 2.6.1, а оценка fxx (К) задается выражениями(7.3.2)—(7.3.4), причем 2ns(T)/Т —>І при Т—>оо. Тогда f{R(K) имеет асимптотическое распределение (2т+I)-1X X Wcr(2m+\9 fxx (K)), если Кф0 (mod я), или (2т)-1 Wr (2m, fxx(K))9 если Я= 0(modя). Кроме того, fXx(Kj)9 / = 1, J9 асимптотически независимы при Kj ±КкфО (mod 2я) для 1 </ < k < J.
