Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
(6.11.12)
а за X —матрицу
(6.11.13)
Оценки в случае X = O (mod я) получаются аналогичным образом.
Заметим, что модель (6.1.1) может использоваться даже в том случае, когда X(Z), Z = O, ±1, не являются векторными
величинами. Например, если мы желаем исследовать возможность нелинейных соотношений между действительными рядами Y (Z) и X(Z), Z = O, ±1, можно положить в (6.1.1)
Х,(і) = Х(і),
X3 (t)=X(t)X(t-\),
(6.11.14)
6.12. Сравнение трех оценок импульсной характеристики
241
6.12. Сравнение трех оценок
импульсной характеристики
Пусть модель, рассматриваемая в этой главе, имеет более простой вид
п
У(0=1*+ S a(u)X(* —«) + e(0, t = 0, ±1, .... (6.12.1)
и=-т
для некоторых конечных т, п. Это случай конечной зависимости Y(t) от ряда Х(?), t = 0, ±1, ... . Займемся сравнением трех часто используемых оценок коэффициентов а (—/n), ..., а (0), ..., а (п)у а именно оценки из § 6.8, оценки наименьших квадратов и асимптотически эффективной линейной оценки.
Для начала заметим, что достаточно рассмотреть простую следующую модель:
Y (0 = ji + aX(0 + e(0, t = 0, ±1, .... (6.12.2)
В самом деле, (6.12.1) можно представить в виде
'X(t+m)'
У(*) = |і + [а(-т) ... а (л)]
Х(*-л).
+ 8(0, (6.12.3)
что имеет вид -(6.12.2) с увеличенным числом измерений.
В § 6.8 была принята следующая оценка а соотношения (6.12.2)
р-1
Из (6.6.4) следует cov{A^(.^), ^(Щ
0, рфц, (6.12.5)-
так что ковариационная матрица аіГ) приблизительно равна
Bf1T'12п (a)2daPf2^/ве (2^) f$ (^)-1. (6.12.6)
Частный случай модели (6.12.2) предполагает также использование метода наименьших квадратов, минимизирующего
2W~^-~aX(0]2 (6.12.7)
относительно (Jt и а, что приводит к оценке
^ = CW(O)CJS(O)-1, которую можно приблизить следующим образом:
U = O v ') U = O 4 'j
(6.12.8)
1,P = O
. (6.12.9)
р = 0
Используя (6.12.5) для ковариационной матрицы (6.12.9), получим следующее приближение:
В?Т-*2л Jr(a)Ma| X)-S(^)J"1.
P-1 ... .....
'р-1
Заметим, что оценки (6.12.4) и (6.12.9) являются взвешенными средними значениями А(Г) (2пр/Р). Это предполагает использова-, ниє в качестве дальнейшей оценки наилучшей линейной комбинации этих значений, что, согласно упр.-6.14.11 и выражению (6.12.5), представляется приблизительно в следующем виде:
а<г,_ f? A(r> (^)f$(^)«S? (^)-1J
х(і:»і5(^)вй>(^)-Т1 (6-12.11)
,P = O
Ip=O
с ковариационной матрицей
Вг»Г-»2я W («)• <ftx I 21 f« (¦^)"l f(^¦) } (6-12.12)
Учитывая вид выражений sl(3t\ матричные разности (6.12.6)— (6.12.12) и (6.12.10)—(6.12.12) будут неотрицательно определены. В случае когда g$ (X) близко к константе, что имеет силу, когда ряд ошибок г(і) является белым шумом и T не слишком мало, формулы (6.12.9) и (6.12.11) показывают, что оценка наименьших квадратов а(2Г) будет эффективной оценкой а?Г). В случае когда ^XX (X)giV (X) близко к константе, формулы (6.12.4) и (6.12.11) показывают, что оценка а(хГ) будет близка к оценке а?Г). Наппап
(1963b, 1967а, 1970) рассматривал оценки а.[Т\ а.(Р для случайного ряда X(O, ? = 0, ±1, Grenander, Rosenblatt (1957), Rosenblatt (1959) и Hannan (1970) рассматривали эти оценки для фиксированных рядов X(t), t = Q, ±1, ... •
6.13. Использование предложенных методов
Рассматриваемые в данной главе статистики использовались многими исследователями в различных ситуациях. Обычно исследователи рассматривали ряд Y(t)> / = 0, ±1, полученный из ряда X(t), ^ = 0, ±1, посредством линейного инвариантного во времени преобразования, что является существенным свойством модели (6.1.1). При этом используются статистики
A^(X), G^(X), Ф^(к)у (Л), \R{ytHX)\\ а™ (и).
Важной областью приложений является геофизика. Robinson (1967а) обсуждал применимость линейной инвариантной по времени модели к изучению сейсмических возмущений X(t)y когда Y (t) записывается различными станциями. Tukey (1959с) анализировал связь записей сейсмических возмущений на одной станции с записями других станций. Некоторые другие приложения в сейсмологии приводят Haubrich, Mackenzie (1965) и Писаренко (1970). В океанографии ttammon, Hannan (1963) и Groves, Hannan (1968) рассматривали зависимость между уровнем моря и давлением, а также ветровыми воздействиями на некоторых станциях. Groves, Zetler (1964) рассматривали взаимосвязь уровней моря в Сан-Франциско и в Гонолулу. Munk, Cartwright (1966) рассматривали некоторую математическую модель X (t) по отношению к уровню приливов Y (t). Kawashima (1964) с помощью спектрального анализа изучал поведение судна в океане. В метеорологии Panofsky (1967) использовал спектральный анализ для различных рядов, включая скорость ветра и температуру. Madden (1964) рассматривал некоторые данные электромагнетизма. Rodrigues-Iturbe, Yevjevich (1968) рассматривали ряды Y (t) количества осадков, записанных некоторыми станциями США, и X(t)—число солнечных пятен. Brillinger (1969а) рассматривал ряды Y (t)—ежемесячные осадки в Санта-Фе, Нью-Мексико, и X(t)—соответствующие ежемесячные числа солнечных пятен.