Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
В случае \i{T) + А(Г) (0) с(р = с(Р мы имеем следующую теорему.
Теорема 6.6.4. В условиях теоремы 6.6.1
D {ц«-> + А<л (0) с</>} = 2KT-1Ze8 (0) + о(T-*). (6.6.13)
Чтобы получить выражение для дисперсии \iiT) при больших выборках, можно пользоваться приведенным ниже выражением (6.6.15). (См. упр. 6.14.31.) Эта дисперсия стремится к 0 при T—> oo, поэтому справедливо
Следствие 6.6.4. Если выполнены условия теоремы и ВТТ —+ оо при T'—* оо, то [х(Л является состоятельной оценкой \i.
Совместное поведение А{Т)(Х)9 gle^X), |і(Г) + А(п (0) с(Р описывает v
Теорема 6.6.5. В условиях теоремы 6.6.1
cov{A"W, gh(v)} = 0(Тг*)9 (6>6Л4)
cov {А(л (Xf 9 \im + А(Л (0) с(хГ)} - О (T-1) (6.6.15)
и
cov (X)9 + дел (0) с</>} = О (7-і). (6.6.16)
Мы видим, что g(el} (\i) асимптотически некоррелированны как с А{Т)(Х)9 так и с [А(Г) + А(Г) (0)с?}. Асимптотически некоррелированны также Ат(Х) и [x<r) + A(7)(0)c(J>.
Для случая амплитуд и фаз верна
Теорема 6.6.6. В условиях теоремы 6.6.1
cov {log Gf '(X)9 &>(v)} = 0(T-*)K (6.6.17)
cov{<f>p(X)9 gg>(p)\ = 0(f-*)9 (6.6.18)
cov {1QgG^(A,), [х(Л + А(Л (O)C^I = O(T-1) (6.6.19)
и
cov{VP(K)9 її*" + А<л(0)C^j = O(T-1), /==1,..., г (6.6.20)
6.7. Асимптотическая нормальность оценок
Теперь обратимся к изучению асимптотических распределений оценок А{Т)(Х)9 g?}(k), \i{T) в предельном случае B7T —+оо при T—>- оо.
Теорема 6.7.1. Пусть e(t)9 t = 09 ±1, удовлетворяет
условию2.6Л и имеет среднее 0. Пусть также X (t)9 t = 09 ±1, ...f
удовлетворяет условию 6.5.2, и Y (t), t = 0, ±1, зада-
ется выражением (6.1.1), в котором для {в.(и)\ выполнено условие 21и 11а MI < 00* Предположим, что W (а) удовлетворяет условию 6.5.1. Вг—>O, ВТТ—+оо при T —>оо, то
A(r)(?4)» ?е*}(M» •••» А(Л(Ху), g(r)(Xy) асимптотически имеют совместное нормальное распределение с ковариационной структурой, заданной выражениями (6.6.3), (6.6.11) и (6.6.14). Наконец, ^(п_|_а<г) (O)CjP асимптотически не зависит от этих переменных и имеет дисперсию (6.6.13).
Из выражения (6.6.14) мы видим, что в указанных выше условиях Ат(Х) и gfePd^) асимптотически независимы для всех X и \i. Из выражения (6.6.3) видно также, что А(Т)(Х) и AiT)(\i) асимптотически независимы, если X — p,s#s0(mod2n). Как следует из упр. 6.14.22, ReA(n(X) и 1тА{Т)(Х) асимптотически независимы. Все эти отдельные случаи асимптотической независимости согласуются с интуитивно подсказанным теоремой 6.2;4.
Теорема -показывает, что А(Л (X) имеет асимптотическое распределение
N?(ЕА(Г>(Х)\ Bf1T-^n j W(а)Чо№^(X) fee(X)), (6.7.1)
если A, ?:0 (mod я) и ЧГ(Г)(А,) имеет вид (6.6.6). Этим результатом -мы воспользуемся позднее для получения, доверительных областей A(X).
Следуя теореме Mann, WaId (1943 а), получим
Следствие 6,7.1. В условиях теоремы 6.7.1 lnG}r> (X), фр (X), geP (X), ср = \iiT) + А(Г) (0) Cx } асимптотически нормальны и имеют ковариационную структуру, заданную выражениями (6.6.7)-(6.6.10), (6.6.13) и (6.6.17)-(6.6.20), для J = I9 г.
Заметим, в частности, что в указанных условиях log Gfу (X) и фр (X) асимптотически независимы.
Асимптотическое распределение Ат(Х) в этой теореме становится таким же, как в теореме 6.4.2, как только выполняется равенство
а.+ 1-{2!».п(х_*!)»}-(г)'
--и yy.t.t)
2л \ W (OLf da
Асимптотическое распределение g^(X) находится 'в соответствии .с теоремой 6.4.2, поскольку в случае, когда (6.7.2) велико, ^-распределенная переменная имеет большое число степеней свободы и близка к нормальной.
6.8. Оценивание импульсной характеристики
В предыдущем параграфе рассматривались вопросы оценивания передаточной функции A(X). Теперь мы займемся задачей оценивания соответствующей функции импульсной характеристики {а (а)}. С использованием A(X) она задается выражением
а(а)==(2я)-1 J А(Х)ехр{шХ}гіХ, и = 09 ±1, .... (6.8.1)
о
Пусть А(Г)(Х) является оценкой A(X) и имеет рассмотренный ранее вид. Пусть также P7 — последовательность положительных целых чисел, стремящаяся к оо вместе с Г. В качестве оценки а (и) рассмотрим
P7- і
а(Л (и) = P71 2 А<л (2я/?/Рг) ехр {і2при/Р7}9 U = O9 ±1,----
(6.8.2)
Заметим, что, пользуясь свойствами симметрии А(Г)(Х), пределы суммирования в выражении (6.8.2) можно сократить до 0^.р^(Р7—1)/2 в членах ImA(r), ReA(7). Заметим также, что оценка имеет период P7 и поэтому, например,
а<г> (- и) = a(r) (P7-и). (6.8.3)
Может быть доказана
Теорема 6.8.1. Пусть є (t)9 t = 09 ± 1, .,., удовлетворяет условию 2.6.1 и имеет среднее 0. Пусть X(t)9 t = 09 ±1, удовлетворяет условию 6.5.2. Допустим, что Y (t) задано выражением (6.1.1), в котором для {а(и)\ выполнено условие 21 и |Х ха(и)|<оо. Пусть далее W (а) удовлетворяет условию 6.5.1, а a(r*(w) задается выражением (6.8.2). Тогда "
Еа(Г>(и) рг-і
= Pf1 2 А (2яр/Рг) ехр \12при/РТ\ + О (B7) + О (T-1/2)
P=O
= а(а)+ S b(u + kP7) + 0(B7) + 0(T-^). (6.8.4)
Мы видим, что при больших P7 и малых B7 математическое ожидание представляет собой по существу желаемое а. (и). Из этой теоремы вытекает
