Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 6.8.1. Если выполнены условия теоремы 6.8.1 и B7-^O9 P7—> оо при T —> оо, то а(7)(а) является асимптотически несмещенной оценкой.
6.8. Оценивание импульсной характеристики
223
Обратимся теперь к изучению моментов второго порядка оценки а(Г)(и). Прежде всего определим
Ў(Г) W = fЙ W"* WW-1 і «Ti W1. (6.8.5)
а после этого — Л(Г)(м, о)
Pr1 2 ехР ii2jV <м "и) U (2зхр/Рг) (2пр/РТ). (6.8.6)
P=O
Это выражение ограничено при тех условиях, которые мы считаем выполненными. Верна
Теорема 6.8.2. Если выполнены допущения теоремы 6.8.1 и B7^Pt1, В7—+0 при 7—>оо, то
cov{a<r>(a), а<л(і>)}
^PfWT-^ JlF(a)»daA(r)(a, ») + 0(Г-і), U1 i, = 0, ±1, ....
(6.8.7)
* Заметим, что из (6.8.6) следует, что асимптотически ковариационная матрица а(Л(н) не зависит от и. Кроме того, асимптотически ковариационная матрица а(Г)(а) и а(Л(и) зависит от разности U-VU поэтому а(Т,(м), и = 0, ±1, можно рассматривать в некотором смысле как процесс, имеющий ковариации стационарного временного ряда. Переходя к пределу, мы получим
Следствие 6.8.2. Если выполнены условия теоремы 6.8.2 и P7B7T —+оо при T —> оо, то а(Г)(м) является состоятельной оценкой а. (и).
Что касается совместного поведения а(Л (и) и g$ (X), то верна
Теорема 6.8.3. В допущениях теоремы 6.8.1
cov {а<л (и)\ (X)} = О (71"1). (6.8.8)
Мы видим, что а(Г)(м), gee'W асимптотически некоррелированны при всех и, X. Для предельного распределения верна
Теорема 6.8.4. Если выполнены условия теоремы 6.8.1 и P7B7-^O при Г-*оо, то E^(M1), а<л(ц,), ...
• • • > ffe? (^/с) асимптотически нормальны и имеют ковариационную структуру, задаваемую выражениями (6.6.10), (6.8.7) и (6.8.8).
В теореме 6.8.2 мы требовали, чтобы B7^Pf1. Из выражения (6.8.7) видно, что мы должны брать P7B7 столь большим, насколько это возможно. Представляется разумным выбор P7-B71, поскольку в данном случае дисперсия а(Г)(м) асимптотически имеет порядок T"1. Однако при этом мы не сможем из выраже-
6.9. Доверительные области
Предложенные в этом параграфе доверительные области буду< основываться на асимптотических распределениях, полученные в § 6.4. Их построение будет согласовываться с асимптотиче| скими распределениями § 6.7.
Предположим, что оценки А(Л(Х), \im, Se^(X)» а(Л(и), исполу зующие весовую функцию W (а), построены так же, как в § 6.Sl Сравнение асимптотических распределений, полученных для А(Л (Xj в теоремах 6.4.2 и 6.7.1, приводит к соотношению
(2m + I)"1 ~ BfxT"l2n j W (a)2 da. (6.9.1?
Как следует из теоремы 6.7.1, распределение А(Л(Х)Т може^ быть аппроксимировано распределением
N?(A(Ky {2т+ 1)-%г{%)VPx (X)-1) в случае А (6.9.^
или
Nr(A(K)\ (2m)-ifee(X)ipx(X)-i в случаях В и С. (6.9.3)
Что касается распределения gQ (X), то соответствующим аппроксимирующим распределением служит
и
/ее (X) ХІт_ г т% /п г\ г\
—2т_у в случаях В и С. (6.9.5)
Таким образом, ЮОР-процентный доверительный интервал для fee (X). дается выражением
g<T4K)2(2m+\-r) .(Г, (X) 2 (2m+1-г)
< їег {) ^ ~* ПЕГГ (6-9-6*
-г) ^ 2 / М(2т+1-п \ 2 J
в случае А и подобными выражениями в случаях В и С. Доверительный интервал для log /ее (X) нетрудно получить, алгебрам чески из (6.9.6).
Если теперь CjJ обозначает /-й диагональный элемент
(2т+1)-Ч»(Х)~* (6.9.7|
%2(2т+1-
ния (6.8.7) выделить главный член. В случае же РТВТ—+0 прЩ обладающим в (6.8.7) является первый член. В итоге мы можеі асимптотически сравнить порядок этой дисперсии с порядков дисперсии величины А(7)(Х), т. е. с Bf1T"1.
и для CjjgeV (X) введено обозначение wJy то, как следует из рассуждений § 6.2, 100(3-процента а я доверительная область для ReA^(X)9 ImAp(X) может определяться, из неравенства
{Re Aj (X)-Re Ap (X)}? + {Im A1 (X)-Im Ap (X)}?
<2ш/2;2(2т+1_г)(р). (6.9.8)
Эту область рассматривали Akaike (1965), Groves, Hannan (1968). Если 100|3-процентные доверительные области требуются одновременно для всех Aj(X)9 J=Iy ..Г, г у то можно воспользоваться результатом из упр. 6.14.17 и рассматривать область .
I Re Aj (X)-Re Ap (X) I < (2rWjF2n 2(2m+w) (P))1/2, I Im Aj (X)-Im Ap (X) | < (2rWjF2r, .<.«+i-r> (Р))1/2, (6.9.9) j = 1, ..., г.
Если положить
Uj = (2ш/2г; 2{2m+ w) (P))i/«e (6.9.10)
то область (6.9.9) приближенно совпадает с областью
I Ap (X) I - uj < I Л, (X) I < Ap (X) I + И/в arg Ap (X)—arcsin {uj/\ Ap (X) |} < arg Aj (X)
< arg Ap (X) + arcsin {иу/1 Л}г> (X) |}, (6.9.11)
/== 1, . . ., Ту
дающей совместную доверительную область для действительных амплитуд и фаз. Области в такой форме рассматривали Goodman (1965), Bendat, Piersol (1966). Точные процедуры, основывающиеся на (6.2.19) и (6.2.21), могут также быть использованы для построения доверительных интервалов отдельных [Лу(Х)| и Фу(Х), Они включают аппроксимацию распределения
wji I Ap (X) I2 7 1 '2 (6.9.12)
нецентральным ^-распределением со степенями свободы 2, 2(2т+1—г) и параметром нецентральности \Aj (X) |2/2, а также аппроксимацию распределения