Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Задание 21. Дано дифференциальное уравнение, описывающее процесс управления
у" +р{х)у" + q{x)y = u{x),
где и(х)—функция управления на интервале [а, Ь\. Требуется найти управляемый процесс у(х) такой, что
y(a) = d0, y(b) = di.
Здесь л; играет роль времени.
1) Разбить интервал [а, &] узлами xt с шагом h = (b — a)j5, построить разностную схему для определения приближенного решения в узлах jc4
2) Методом прогонки решить полученную трехдиагональную систему линейных уравнений для /г и Л/2. Найти погрешность по правилу Рунге. Выполнить вычисления на персональной ВТ. Построить график для у\12.
502 \
V
Номер варианта а ъ 4> Р(х) ф) и(х)
1. -1 0 1 1 8ІПХ -(1+х2) ех
2. 0 1 2 3 1п(1 + х) — е х 1
3. 1 2 3 1 СОБХ -5 хеш*
4. -1 0 -1 2 2х -(1+х2) 2
5. 2 3 2 3 х2 —х\пх X2 СОБХ
6. 0 1 3 4 1 + х -4 8Іп(2 + х)
7. -2 -1 2 1 1+ех — 5 —БІП2* 3
8. 3 4 3 2 БІПХ -4 3
9. -0,5 0,5 0 -2 * -10 3х
10. 1 2 1 1 СОБ2* — 7 +сое* 1п(1 + х2)
11. 4 5 2 1 —ех -6 БІПХ
12. 0 1 1 4 хсоьх —ех 1+Х
13. -1 0 3 2 віте СОБХ—5 1
14. 0 1 -1 -1 сх -2 X
15. 2 3 2 3 х3 -6
16. 1 2 -3 2 1п(1 + х) (1+х)2' віпх—8 1
17. 0 1 -2 1 -3 2соз2х
18. -1 0 3 1 1п(1+х2) х2 -(1+х3) -3
19. 3 4 2 2 — \0+х е х
20. 0 1 3 3 біпх -4 совх
3) Написать программу решения краевой задачи с использованием библиотечной подпрограммы. Подготовить дисплейную карту.
Задание 22. Провести вычисления по программе задания 21 в дисплейном классе. Оценить погрешность вычислений по правилу Рунге. Построить график приближенного решения.
Задание 23. Найти стационарное распределение температуры в прямоугольной пластине, все стороны которой поддерживаются при нулевой температуре. Пластина нагревается постоянным током, выделяющим в единице объема тепло (). Задача сводится к решению уравнения Пуассона в прямоугольнике (О^х^а, О^у^Ь)
д2и д2и_ 6 дх2 ду2 к
(где к—коэффициент внутренней теплопроводности) с условиями Дирихле
м(0, х) = 0, и(Ь, х) = 0, и(у, 0) = 0, и(у, а) = 0.
Здесь и(х, у)—температура пластины в точке х, у. Аналитическое решение задачи (см. гл. 5)
(2п+1)кх , (2л+ \)п(Ь—2у)
и{х-у)~Тк
(2и+1)3 ^(2п+\)пЬ
2 а
1) Разбить область (7 сеткой с шагом /гх = 73, ку = ъ/3. Построить разностную схему. Найти приближенное решение в узлах. Вычисления выполнить на персональной ВТ. Построить график в оксоно-метрической проекции.
503
2) Вычислить в одном из узлов значение точного решения, используя аналитическую формулу.
Номер варианта а Ь <21к Номер варианта а Ь 21к
1. 0,5 0,5 1,0 И. 0,4 0,5 2,0
2. 0,8 1,0 1,1 12. 0,8 0,1 1,9
3. 1,0 0,2 1,2 13. 0,4 0,3 1,8
4. 1,0 0,8 1,3 14. 0,6 1,0 1,7
5. 0,2 0,3 1,4 15. 0,2 1,0 1,6
6. 0,8 0,1 1,5 16. 0,8 1,0 1,5
7. 0,2 1,0 1,6 17. 0,3 0,2 1,4
8. 0,3 0,4 1,7 18. 1,0 0,8 1,3
9. 1П 0,5 , 1 0,5 П 1,8 1 о 19. 1,0 П 1 0,2 1,2 1 1
3) Написать программу решения задачи с помощью библиотечной подпрограммы. Положить, что изменение мощности источников тепла от координаты пластины описывается законом
у) = а{х2+у2) + Ь.
Абсолютная погрешность вычислений в=10-2.
Задание 24. Провести вычисления по программе задания 23 в дисплейном классе. Построить график приближенного решения.
Задание 25. Найти изменение распределения температуры со временем в тонком однородном стержне. На концах стержня задаются температурные режимы. Начальная температура всего стержня постоянная.
Задача сводится к решению уравнения теплопроводности
ди 2д2и
а?’
где х2—коэффициент температуропроводности,
и(х, 0)=и0, н(0, *) = Мг)> и(а, *) = Ц!(/), где и(х, I) — температура стержня в точке л; в момент
времени
М°)=М0)=мо-
Аналитическое решение задачи (см. гл. 5) имеет вид и(х, г)=Мг)+^Ы')-Мг))+
+ \И Ё е (т) к2(,_т)8т—хеш—
о о и =1 а а \а )
где ц означает дифференцирование по т.
1) Построить двухслойную явную схему, приняв Лх = я/10; выбрать из условия устойчивости. Вычислить два временных слоя на персональной ВТ. Построить графики.
504 \
V,
2) Вычислить точное значение температуры в пятом узле на втором временном слое, используя аналитическую формулу. Взять в сумме 3—4 слагаемых, результат сравнить.
Номер варианта а 'і х2 и0 МО МО
1. 1,2 2,0 1,1 10 и04-0,1 8Іп2я? и0 + 0,2 8Іп4я?
2. 1,1 2,1 1,2 И Н- 0,2? и0 — 0,3?е~*
3. 0,8 2,2 1,3 12 и0 + 0,1?е-' м0—0,1 8Іп2я?
4. 0,6 2,3 1,4 13 И() + 0,4? М0 + 0,3 БІЛЯ?
5. 1,4 2,4 1,5 14 и0-г М0 + 8Іп2я?
6. 1,6 2,5 1,6 15 М0 + 8Іп4я? и0-2?
7. 0,9 2,6 1,7 16 и0 и0 + БІЛЯ?
8. 0,7 2,7 1,8 17 иое и0е"‘
9. 1,3 2,8 1,9 18 м0 + втЗя? и0
10. 1,2 2,9 2,0 19 и0 + БІЛЯ? М0е 2‘
11. 1,1 3,0 1,9 20 м0 +2? и0 — 3 ?
12. 1,2 2,9 1,8 21 М0е2‘ М0Ч- БІЛЯ?
13. 1,3 2,8 1,7 22 и0 «0-4/
14. 1,4 2,7 1,6 23 н0 + ?е * «0
15. 1,5 2,6 1,5 24 и0-3? «0 е'
16. 1,6 2,5 1,4 25 н04-4зт4я? и0 — 6 біля?
17. 1,5 2,4 1,3 24 «0 и0е~*
18. 1,4 2,3 1,2 23 М0 + 3 БІПТС? М0е2*
19. 1,3 2,2 1,0 22 Мое"2* м0е 3‘
20. 1,2 2,1 0,9 21 м0Ч-5зіп2я? и0
3) Написать программу решения задачи с помощью библиотечной подпрограммы. Выдачу на терминал организовать через пять временных слоев. Абсолютная погрешность вычислений 8=10“4.
4) Провести вычисления в дисплейном классе. Построить графики временных слоев.
