Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Л= (о 0 , M
где Ad-ортогональная матрица размера d х d.
Скалярное произведение в пространстве Rd мы обозначим символом
a " b = Y aJ 6J.
i<i<d
Пусть
a: R2d ^ R1
-билинейная форма вида
a(qi ФPi , q2 ФP2) = qi • P2 - ?2 • Pi. (А.З) Форма (А.З) кососимметрична:
a(qi Фpi , ?2 ФP2) = -a(q2 ФP2 , qi ФPi), (А.4)
невырождена:
(Vqi Ф pi: a(qi Ф Pi , ?2 Ф P2) = 0) (?2 Ф P2 = 0) (А.5)
и инвариантна относительно преобразований вида (А.2):
a(A(qi ФPi) , A(q2 ФP2)) = a(qi ФPi , ?2 ФP2).
Удовлетворяющая условиям (А.4)-(А.5) билинейная форма называется симплектической формой. Можно доказать, что при соответствующем выборе базиса в линейном пространстве L любая симплектическая форма на пространстве L Ф L* в координатах имеет вид (А.З).
На функциях из пространства Шварца S (Rd Ф Rd) определим сим-плектическое преобразование Фурье:
Fx(ф)(С Ф П) = (2п)-<*У exp(-ia(C Ф П, q Ф p))Ф(q Ф P) dqdp.
Обратное симплектическое преобразование Фурье вычисляется по формуле
F-1 : ф(q Ф p) = (2n)-^ exp(za(? Ф /7^ Ф P))F7 (ф)(? Ф n) d?d??.
464
Равенство Парсеваля для симплектического преобразования Фурье имеет вид:
J \Ф(Я ФР)|2 dqdp = j |F(j(ф)(? 0 q)\2 d?dq.
Следует отметить, что в теории преобразования Вейля возможен иной выбор знаков у множителей i в экспонентах и степеней множителя 2п перед интегралами.
Вейлевское квантование состоит в том, что по аналогии с формулой обращения преобразования Фурье каждой функции на фазовом пространстве ставится в соответствие оператор в гильбертовом пространстве L2(Rd):
ф(Я , P) = (27Г)"d /exp(i(? • P - q • Q))Fa(ф)(С 0 q) d?dq,
где Q , P -операторы координаты и импульса (математически строгое определение оператора (? • P — q • Q) дано ниже).
Переходим к построению отображения (квантования) Вейля,
В пространстве L2(Rd) определим операторы
V(p Є Rd) : V('р)ф(х) = exp(—ip • х)ф(х), V(q Є Rd) : U(q)#x)= ф(х — q).
Лемма A.1.1. Операторы, V(p) и, U(p) унитарно эквивалентны: если, F -преобразование Фурье в L2(Rd), то
FU(p) = V(p)F.
Доказательство проводится прямой выкладкой. Имеем:
FU(pW«) / «ФИГ х)ф(х — p) dx = exp(—гС ^ p)f exp(—« ^ х)ф(х) dx V (p)FVK).
Лемма A. 1.2. 1. Справедливы соотношения:
V(p! Є Rd, p2 Є Rd): V(p1)V(p2) = V(p! + p2), (A.6)
V(q! Є Rd ,q2 Є Rd): U(q1)U(q2) = U(qx + q2), (A.7)
U(q)V(p) = exp(iq • p)V(p)U(q). (A.8)
2. Для любого элемента ф Є L2(Rd) функции
Rd э q ^ V(p)ф Є L2(Rd), Rd Э q i-> U^))ф Є L2(Rd)
465
непрерывны, в метрике пространства L2(Rd).
3. Операторы, V(p) и, U(q) унитарны, и, справедливы, равенства:
V*(p) = V(—p) , U*(q) = U(—q). (А.9)
Доказательство. Равенства (А.6)-(А.7) очевидны. Далее имеем:
U(q) V(p)V(x) = U(q)(exp(—ip • x)V(x)) = exp(—ip • (x — q))V(x — q) = exp(iq • p) exp(—ip • x)V(x — q) = exp(iq • p)V(p)U(q)V(x).
Соотношение (A.8) доказано.
Сотношения (A,6)-(A,8) называются каноническими перестановочными соотношениями в форме Вейля.
Для доказательства второго утверждения леммы силу равенства (А.6) и леммы А. 1.1 достаточно доказать непрерывность функции p — V(p)V Є L2(Rd) в точке p = 0. Имем:
HV — V(p)VI|2 = j Il — exp(—ip • x)I2IV>(x)I2 dx — 0 , IpI — 0.
Второе утверждение леммы доказано. Третье утверждение очевидно.
Следствие А.1.1. В пространстве L2(Rd) функции
t — V(tp) , t — U(tq)
образуют полугруппу унитарных операторов класса, C0.
Из теоремы Стоуна следует, что операторы
p • Q := idtV(tp)|t=Q , q • P := idtU(tq)|t=Q (АЛО)
самосопряжены.
На функции из C0° эти операторы действуют по формулам:
(p • Q)V (x) = (p • x)V(x) , (q • P)V(x) = —iq • 3xp(x).
Следует помнить, что область оперделения суммы двух неораниченных операторов может отличаться от области определения слагаемых. Определим оператор
W(q , p) == exp(2q • p)U(—q) V(p). (A.ll)
466
Лемма А. 1.3. 1. Справедливы равенства
W(q , р) = exp(-2q • p)V(p)U(—q). (A.12)
i
W(q , р)ф(х) = exp(—2q • p — ip • x)ip(x + q). (A.13)
i
W(qi , pi)W(q2 , P2) = exp(—2cr(qi ФPi , q2 ФP2))W(qi + q2 , pi + P2).
(A.14)
W (q,p)* = W (—q, —p). (A.15)
2. В пространстве L2(Rd) функция
t — W (tq , tp)
есть полугруппа, унитарных операторов класса, C0.
Доказательство. Для доказательства превого равенства мы используем равенство (А.8)и получаем:
i
W(q , р) = exp(2q • р — iq • р) V(p)U(—q) = i
exp(—i2q ^ p)V(p)U(—q).
Второе равенство доказывается вычислением на основе равенства (А. 12) и определений операторов V(р) и U(q).
Для доказательства третьего равенства мы используем равенство (А. 12):
i
W(qi , _Pi)W(q2 , р2) = exp(2(qi ^ р1 — q2 ^ _P2))U( —qi)V(р1)V(р2)и( —q2) = i
exp(2(qi ^ -Pi — q2 ^ р2))U( —qi)V(р1 + р2)U( —q2) =
ii exp(2(qi ^ -Pi — q2 ^ р2) — iq1(p1 + р2) + 2(р! + P2)(q1 + q2))W(qi + q2 , р1 + р2) = i
exp(— 2(q1 ^ р2 — q2 ^ W(q1 + q2 , р1 + р2).
Остальные утверждения леммы очевидны. Пусть
L = idtW(tq, tp)|t=0
-инфинитезимальный оператор полугруппы t — W (tq, tp). Из теоремы
L
L
L0(x) = iotV^р)^=0 + idtU(—tq)|t=0 = (р • х)0(х) + iq • ож0(х),
467
поэтому
W^ , p) = exp(i^ • P - p • Q)).
Положим
Z(ф,ф | C,n) = (2n)-d/2 <ф, W(С,п)Ф>. Лемма А. 1.4. Справедливо равенство
