Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Имеем:
< ф , W(? , п)Ф >= j exp(-22С • П - ІП • x)^(x + ?)dx = f 1 1
/ <Kx - 2С) exp(-in ^ xMx + 2С)dx.
Z(ф1 , ф1 | С , n)*Z(ф2 , ф2 | С , n)dCdn =
(2тг)-(і/exp(in • (x - y)^i(x - 1?)^i(x + 1 С)*ф2(у - 1С)*х
X ф2(у + 1 ?)dxdydndC =
фl(x - 2C)^i(x + 2С)*ф2(x - 2с)*Ф(x + 2С)сЫС =
Следствие А.1.2. Если функции ej(x), 1 < j < то образуют полную ортонормированную систему в пространстве L2(Rd), то функции
Zi,j(С, п) := (2n)-d/2 < ei, W(С , n)ej > 1 < i < то , 1 < j< то образуют полную ортонормированную систему в пространстве L2(R2d , d?dn). Доказательство. Докажем полноту системы z^j(С, п)- Имеем:
/1 1
ei(x - 2?)ej(x + 2С) exp(in ^x)h(?, n)dxdCdn.
Функции ei(x - 1С)ej(x + 2С) образуют полную ортонормированную систему в пространстве L2(R2d, dxd?), поэтому из равенства
V(i, j): / Zi,j(С, ПГh(?,n)d?dn = 0 468
следует равенство
Г
exp(in • x)h(f , rq)drq = 0, h(il, ті) = 0.
Полнота системы zitj (f , rj) доказана. Ортонормированность системы zitj (f , rj) следует из предыдущей леммы.
Определение А.1.1. На функциях из пространства Шварца S(Rd фRd) преобразование Вейля определено как отображение, которое функции a(q , p) Є S(Rd ф Rd) ставит в соответствие оператор Tw (a) на пространстве L2(Rd):
V(a Є S(Rd ф Rd)) : Tw(a) = (2n)-d J Fa(a)(f Ф n)W(f , v)dfdV, (A.16) где
F(j(a)(f ф r) = (2n)-d j exp(-ia(f ф і|, q ф p))a(q ф p) dqdp.
(A.17)
Интеграл в формуле (A.16) понимается как интеграл Бохнера в банаховом пространстве L(L2(Rd) — L2(Rd)), В формуле (А,16)
Fa(a)(f ф п) Є S(Rd ф Rd) , IIW(f , і|) | L(L2 (Rd) — L2(Rd))|| = 1,
поэтому сходимость интеграла сомнений не вызывает.
Теорема А.1.1. Ha функциях из пространства Шварца S(RdфRd) преобразование Вейля удовлетворяет условиям:
1. Tw(a)* = Tw(a*). (А.18)
2. V(a Є S(Rd ф Rd)) : Tw(a) Є HS , ||TW(a) | HS||2 = (2vr)-d||a | L2(Rd ф Rd)||2.
(A.19)
3. V(V> Є S(W)) : Tw(a)^(x) = (27r)-d у exp(zp • (x - f))a ^—2-^ , pj ^(f)dpdf.
(A.20)
Доказательство. Имеем: Tw(a)* =
(270-4/ Fa (a)(f, r)*W (f, r)*dfdr = (2vr)-d / Fa (a)(f, i|)*W (-f, -i|)dfdi| =
(2n)-d / Fa(a)(-f , -r)*W(f , r)dfdr = (2n)-d / Fa(a*)(f , r)W(f , r)dfdi|.
469
Первое утверждение теоремы доказано. Докажем второе утверждение. Пусть ej (x), 1 < j < то -произвольная полная ортонормированная система в пространстве L2(Rd), С учетом следствия А. 1.2 и равенства Пар-севаля, мы имеем:
||Tw(a) I HSI2 = I < ei, Tw(a)ej > I2 =
$>тг)-MI / Fa(a)(? , n) < e., W(? , n)e, > d?dnI2 =
(2n)—dIFa(a) I L2(Rd 0 Rd)||2 = (2тг)-d||a I L2(Rd 0 Rd)||2.
Докажем третье утверждение теоремы. Воспользовавшись равенством (А. 13), мы имеем:
Tw (a)V(x) = (27r)-d / F(j (a)(? , n) exp ( — n • ? — in • x\ V(x + ? )d?dn
(2п) 2d / a(q , p) exp ( — -т/ • ? — in • x — i? • p + in • q \ V(x + ?)dqdpd?dn
(2n) 2d ^ exp ^—2n • (? — x) — in • x — i(? — x) • p + in • qj a(q , p)V(?)dqdpd?dn (2тг)—2d / exp fin ^ fq — x+^) + ip ^ (x — ?^ a(q , p)V(?)dqdpd?dn =
(2n)—d I 6 ( q--— ) exp(ip ^(x — ?))a(q, p)V(?)dqdpd?
(2n) M exp(ip • (x — ?))a ( x+? , p ) V(?)dpd?.
Теорема доказана.
Так как пространство S(Rd 0 Rd) плотно в L2(Rd 0 Rd), то из (А.19) вытекает
Следствие А. 1.3. Отображение
S(Rd 0 Rd) э a — Tw (a) Є HS продолжается по непрерывности до отображения,
L2 (Rd 0 Rd) э a — Tw (a) Є HS.
Отображение
L2(Rd 0 Rd) э a — (2n)d/2Tw(a) Є HS
470
унитарно:
V(a Є L2(Rd 0 Rd) , b Є L2(Rd 0 Rd)) : < a , b >= (A.21)
(2n)d <Tw(a) ,Tw(b) >=(2n)d < Tw(a)e,-,Tw(b)e,- >. (A.22)
i<j<oo
В левой части равенства (A.21) стоит скалярное поизведение в пространстве L2(Rd 0 Rd), в левой части равенства (А,22) стоит скалярное произведение в пространстве операторов Гильберта-Шмидта HS, в правой части равенства (А,22) стоит скалярное произведение в пространстве L2(Rd) и ej (х), 1 < j < то -произвольная полная ортонормированная система в пространстве L2(Rd),
Формула (А,19) позволяет оснащение пространства L2(Rd0Rd) переносить на оснащение пространства операторов Гильберта-Шмидта HS и расширять преобразование Вейля на функции, которые не принадлежат пространству L2(Rd 0 Rd), Tw(a)
a
Tw(a)
зать, что формула (А,20) корректно определяет оператор на пространстве C°° в том случае, если функция a растет не быстрее полинома. В качестве примера вычислим оператор с вейлевским символом
a(q , p) = 1p2 + v(q) , v(q) Є Co00.
2
Имеем:
Tw(а)ф(х) = (2vr)-d / exp(ip • (х — C)H ^p2 + v ) ) ф(?)<№ =
Г V 2
— 2джф(х) + / *(х — С)" ф(?К =
— 2джф(х) + v(x^(x).
Мы видим что в рассматриваемом случае отображение Вейля совпдает с вейлевским квантованием.
Докажем, что отображение Вейля обратимо.
T
стве L2(Rd). Тогда, существует такая функция a Є L2(Rd 0 Rd), что T = Tw(a). Эта функция оперделена, равенствами, (А,23)-(А,24).
471
Доказательство. Пусть ej (х), 1 < j < то -произвольная полная ортонормированная система в пространстве L2(Rd), Согласно следствию А, 1,2 функции
<j(C,q) = (2n)-d/2 <ег ,W(C,q)ej >*
образуют полную ортонормированную систему в пространстве L2(Rd 0 Rd), Так как T -оператор Гильберта-Шмидта, то
