Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Если гипотеза #„ не отвергается, то все р средних имеют общее значение (1, т. е. = ц,2 = • • • = ]1Р = \1. Наилучшей оценкой генерального среднего \1 будет (х = х... С другой стороны, если #0 отвергается, то мы делаем вывод, что некоторые \1( не совпадают.
Так как F-кpитepий не дает информации о том, какие именно из средних не равны, исследователь должен провести дополнительные исследования. Например, нужно проверить гипотезу Я0:
— [А/ = 0 или гипотезу относительно линейной комбинации средних типа Я0: 2\1г + Зц.2 — 4^5 == 0. Для одного критерия Я0: цг — [А/ == 0 следует вычислить 100 (1 — а) %-ный доверительный интервал как в (2.4.6) и отвергнуть Я0 с уровнем значимости а, если интервал не содержит 0.
Рассмотрим теперь вопрос о критерии для линейной комбинации средних. Обозначим линейную комбинацию через с1г1х + + с2^2 + • • • + ср\1р, где сг — постоянные. Тогда для проверки р р
гипотезы Я0: 2 с№1 — 0 против альтернативы Нг: 2 с^ Ф 0
<=1 1=1
с уровнем значимости а образуем следующий 100 (1 — щ %-ный
р
доверительный интервал для 2 сгЦг:
2.4. Анализ р > 2 непрерывных случайных величин
103
Когда этот интервал содержит 0, мы принимаем гипотезу Я„, в противном случае отвергаем Я0 с уровнем значимости а.
Если исследователь хочет проверить несколько таких гипотез, то общий уровень значимости (т. е. уровень значимости совокупности всех критериев) обычно будет сильно отличаться от а. Поэтому нельзя утверждать, что все критерии совместно дают уровень значимости а. Чтобы обойти эту трудность, можно использовать процедуру множественного сравнения для всех критериев, которая позволяет сохранить а в качестве общего уровня значимости.
Рассмотрим теперь три процедуры множественного сравнения. В первой из них — метод Шеффё (Бсг^ё (1953)) — для про-
р р
верки гипотезы Я0: 2 С1Щ = 0 против альтернативы Нг: 2 с^ц,- ф
1=1 ' 1 = 1
ф 0 образуем доверительный интервал
Ее,*,. ±5, (2.4.9)
(=1
где
р
Я2 = рМЬ^^ (р, п - р) ^ ^ , (2-4.10)
1=1
а (Р> п — р) есть Ю0 (1 — а)-я процентиль распределения F (р, п — р). Если этот интервал не содержит 0, то Я0 отвергается с уровнем а. Этот процесс повторяется для каждой интересующей нас линейной комбинации, причем общим для всех критериев уровнем значимости остается а.
На практике обычно проводятся сравнения контрастов в сред-
р
них. Контрастом называется линейная комбинация средних Е^ь
1=1
р
коэффициенты которой удовлетворяют условию 2 К = 0- Каж-
1=1
дый контраст пропорционален разности между взвешенными средними от средних. Например, — и.2, 2 ~ з И т. д.
Метод Шеффё для контрастов имеет следующий вид. Для
р
проверки гипотезы Я0: Е ^г1; = 0 против альтернативы Нг:
1=1
р
Е ^гН'! 0 нужно образовать доверительный интервал
1=1
ЕМ1.±5, (2.4.11)
1=1
Гл. 2. Элементарные статистические выводы
где
р
S2 = (p-l)MSw^-a(;>-1, п-р)^^, (2.4.12)
(=1
а Fi-a (P ~~' 1> п — р) есть 100 (1 — а)"я процентиль распреде-ления F (р — 1, п — р). Если этот интервал не содержит 0, то Н0 отвергается с уровнем значимости а. Этот процесс повторяется для каждого представляющего интерес контраста, причем общий для всех критериев уровень значимости остается равным а.
Вторая процедура множественного сравнения — метод Тьюки (Scheffe (1959), Tukey (1949b)), который применим только для контрастов и только в случае равных объемов выборок, т. е. при
р
ni — п2 — 1'' = tip — т. Для проверки гипотезы Я0: 2 К\*ч =
р
= 0 против альтернативы Нг\ 2 Ф 0 нужно образовать доверительный интервал
}jhxt.±T, (2.4.13)
(=1
где _
Т==-ТУ (2-4.14)
а <7і_а есть (Ю0(1 —а)-я процентиль распределения стьюденти-зованного размаха с р и v = п — р степенями свободы (приложение II, табл. 7)1). Если этот интервал не содержит 0, то Н0 отвергается с уровнем значимости а. Этот процесс повторяется для каждого представляющего интерес контраста, причем общим для все с критериев уровнем значимости остается а.
Третьей процедурой является множественный t-метод. Пусть k — число заранее выбранных контрастов. Тогда для проверки р Р
гипотезы Н0: 2 Крі = 0 против альтернативы Нг: 2 ^іЦі =5^0
(=1 (=і
следует построить приближенный доверительный интервал
hxi. ± h„W2k) (vw) ЛІ MSW ^ , (2.4.15)
_ ' = 1 ' ? = 1
г) Стьюдентизованный размах с p н v степенями свободы определяется следующим образом. Пусть Ylt Y2.....Yp — независимые случайные величины
с распределением N (у.у, а|), a W — их размах, т. е. W = max Y{ — min Yt,
Если sy с v степенями свободы есть независимая несмещенная оценка ау, то распределение W/sy и будет распределением стьюдентизованного размаха с р и v степенями свободы.
2.4. Анализ р > 2 непрерывных случайных величин
105
где / а есть 100 [1 — (а/2/г)]-я процентиль /-распределения
1_~2Т
Стьюдента с vw степенями свободы. Если этот интервал не содержит 0, мы должны отвергнуть Я0.
Замечания 2.4.1. 1. Так как в методах Шеффё, Тьюки и множественном /-методе за основу взяты различные распределения (соответственно F, q и /), то в них, вообще говоря, рассматриваются разные доверительные интервалы. Метод Шеффё допускает различные объемы выборок и любые линейные комбинации средних, в то время как метод Тьюки применяется лишь при равных объемах выборок и лишь для контрастов. Множественный /-метод применяется только к множеству контрастов, выбранных до начала исследования данных, в то время как в двух других методах множество контрастов может быть любым.
