Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Номер Оогем Выборочное выборки выборки среднее
7 22 73.73
15 25 146.32
6 13 147.92
14 18 165.61
3 8 191.13
13 17 213.47
18 17 224.41
9 14 263.86
19 14 303.14
12 15 313.20
2 6 329.83
Номер объем Выборочное выборки выоорки среднее
8 14 333.29
11 27 341.30
5 32 374.06
4 8 412.13
1 (контр.) 71 417.32
21 16 459.81
10 19 460.37
22 19 477.53
17 18 484.61
20 18 507.56
16 19 566.37
1) Частное сообщение доктора Розенберга (Alberto Rosenberg, UCLA, Los Angeles, California).
100
Гл. 2. Элементарные статистические выводы
В этом примере интересно проверить гипотезу о том, что среднее выделение НС1 одинаково для всех 22 популяций. Полагая, что хп,Х\п1 есть случайная выборка из N (ц.ь о}); х2\,х2Пг — из N (ц,2, о|); хри хрп—из Ы(цр, о1) и что а? = а\ = ... • ¦ • = ор = а2, проверим гипотезу Я0 : цх = ца — • • • = цр против альтернативы Ях : не все {А, равны. Для проверки используем /-"-отношение, статистика которого имеет вид
Рп =
ЯгісіХі.- х.Щр -\)
Е І! (хц-хіШ-р)
і=і /=і
(2.4.4)
вы-
где /г = ^ /гг- — общий объем выборки, х(. = ^ хгу —
с=1 ' /=1
р "г
борочное среднее для 1-й подпопуляции и х., = ~~^~^^^хи —
г=11=1
общее среднее.
Если Я„ верна, то /-"о имеет /-"-распределение с vй = р — 1 и vw = п — р степенями свободы. Р-значение равно площади справа от Р0 под функцией плотности распределения Р (ув, vw) (табл. 6, приложение II). Гипотезу Я0 следует отвергнуть, если Р меньше наперед заданного уровня значимости а.
/•"-отношение применяется в однофакторном дисперсионном анализе {дисперсионный анализ будет подробно обсуждаться в гл. 4). Компоненты числителя и знаменателя Р-отношения обычно представляют в виде таблицы дисперсионного анализа типа табл. 2.4.1.
Таблица 2.4.1
Таблица однофакторного дисперсионного анализа*
источник
дисперсии
Сумма квадратов
Степени свободы
Средний квадрат
F-отношенне
Между подло- р ss ms
пуляциями SSB= 2jni (*<. — *..) vB=p—1 MSB = —-s- F =
(или груп- f=l Vb il3w
пами) n i
Внутри подло- A r'. . ..c ssv
пуляций ssw = 2j 2j - vw = n - P msw = —
(или групп) _/=l /'=1__
Полная p ni
sst= j 2 (*</-*--)2 vT = n-l _ '=1 /=i
* В — Between (между), W — Within (внутри), T — Total (полная). — Прим. перев.
2.4. Анализ р > 2 непрерывных случайных величин
101
В первом столбце таблицы перечисляются три источника дисперсии —¦ между группами, внутри групп и полная, во втором — суммы квадратов для этих трех источников. Заметим, что как SSB и SSW, так и степени свободы vB (между) и vw (внутри) являются компонентами (2.4.4). Каждый средний квадрат вычисляется путем деления суммы квадратов на число степеней свободы, причем средний квадрат для полной дисперсии в таблице обычно не приводится. Наконец, F-отношение совпадает с (2.4.4) Кроме F-отношения, двумя другими важными характеристиками являются msw — оценка общей дисперсии о2, а также vw, используемое при вычислении доверительного интервала.
Так, 100(1—-а) %-ным доверительным интервалом для и.( будет
/MS.,, »=1, ...,р, (2.4.5)
а 100 (1 — а) %-ным доверительным интервалом для и.; — и.; —
(*«-. - X,.) ± *1_(а/2) (Vw) ]/mSw + ~) ,
i, /= 1, ... ,р, 1ф\, (2.4.6) где t (vw) есть 100 [1 — (а/2) 1-я процентиль ^-распределения
I — (х>/2
Стьюдента с vw степенями свободы.
Пример 2.4.2 (продолжение). В этом эксперименте проверим гипотезу о том, что среднее выделение HCl одинаково во всех 22 популяциях. Производя вычисления, указанные в табл. 2.4.1, получим
Источник дисперсии Сумма квадратов Степени свободы Средний квадрат F-OT-ношение
Между группами 7 536 412 21 358 877 6.49
Внутри групп 22 561 794 408 55 299
Полная 30 098 206 429
Чтобы проверить Н0: \лг = щ = • • • = Шг> нужно сравнить F0 = 6.49 с процентилями распределения F (21, 408). Так как Р < 0.001, то Н0 отвергается. Следовательно, проверяемые лекарства значимо различаются по своему влиянию на секрецию HCl в желудке крысы.
Оценкой дисперсии а2 служит MSW = 55 299, a 95 %-ным доверительным интервалом для среднего ^ контрольной группы —
102
Гл. 2. Элементарные статистические выводы
интервал 417.32 ± 4.975 (408) У^~- = 417.32 ± 1,96 (27.9) =
= (362.6, 472.0).
95 % -ным доверительным интервалом для разности между средним 1ц контрольной группы и средним ц7 седьмой популяции является
(417.32 - 73.73) ± г0.975 (408) ]/б5299 + = 343.59 ±
± 1.96 (57.38) = (231.13, 456.05).
Заметим, что рассматриваемый F-кpитepий предполагает, что
дисперсии всех р популяций равны. Гипотезу Но: о? = • • • = ор можно проверить с помощью критерия Бартлетта равенства р дисперсий, но так как этот критерий очень чувствителен к предположению о нормальности, мы не будем его здесь рассматривать, отсылая читателя к книге Вгошп1ее (1965).
Заметим также, что МБШ можно представить в виде
(п1-.)^ + (:2-1)^+...+(пр-1К>
"1 + «2 + • ' • + пр — р У '
Следовательно, (2.4.7) — объединенная оценка дисперсии, а формула (2.3.6) является ее частным случаем при р = 2.
