Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
д:13, уг ся оценки параметров ц, и а| по формулам:
Х"> * хс.=±%х11, 8? = -1т^(х,/-х,)«,
п1 /=1 п1 — 1 /=1
; 1 = 1, 2. (2.3.4)
Рассмотрим теперь следующий пример.
Пример 2.3.2. Во многих клинических ситуациях бывает полезно измерить концентрацию молочной кислоты (так называемый лактат, мМ) в артериальной крови. Исследования показали, что логарифм этой величины имеет приблизительно нормальное распределение. В рассматриваемом примере измерялась величина X — десятичный логарифм лактата в популяции № критически больных пациентов, перенесших состояние циркуляторного тока. Эта популяция расслоена на две подпопуляции: 1^ — умерших и №2 — выживших пациентов. Пусть
1, если пациент умер,
2, если пациент выжил.
Из №1 и №2 были произведены выборки соответственно объемов Пу = 41 и п2 = 70 пациентов. Наблюдениями в выборке служили финальные значения X непосредственно перед смертью или перед переводом из реанимационной палаты. Программа построила гистограммы для обеих выборок (рис. 2.3.1); значения выборочных статистик приводятся в подписи под рисунком.
В этом примере интересно проверить гипотезу о том, что финальное значение среднего величины X, равной десятичному логарифму лактата для умерших пациентов, больше, чем для выживших. Вообще, если хц, Х1,ч и х2и х2П2 суть случайные выборки из популяций соответственно с распределениями N (ци а\) и N (|х2, о\), причем о\ = о\ = о\ то нулевую гипотезу Я0: М1 — = 8. где б — константа, можно проверить с помощью двухвыборочного Ь-критерия. Статистикой критерия является
2.3. Анализ двух непрерывных случайных величин
91
где
S2 -
ьр —
("1- 1)д1 + ("8~ «1 + >Ч — 2
(2.3.6)
— объединенная выборочная дисперсия, представляющая собой несмещенную оценку общей дисперсии а2. Если гипотеза Н0
-0.6 -0.3
0.3 0.6 0.9
а
-0.6 -0.3 0 0.3 0.6 0-9 1.2 1.5
b
Рис. 2.3.1. Гистограммы величины десятичного логарифма лактата для 111 критически больных пациентов, сгруппированных по исходу, а— умершие: Y = 1, хи = 0.685, Sj - 0.326, rix = 41; Ъ — выжившие: К = 2, х2. = 0.399, % = 0.383, л2 = 70.
верна, то U имеет ^-распределение Стьюдента с v = nL + n2 — 2 степенями свободы. Р-значение зависит от альтернативной гипотезы и приводится ниже.
Нулевая Альтернативная Р-значенае
гипотеза гипотеза
Н0: Hi-цг = 6 Hi\ tu - Mi > Р= Pr(t(v)>t0)
И,: - щ < б Р= Pr(t(v)<t0)
Hi'. ц\— щф 6 P = 2Pr(t(.v)>\t0\)
92
Гл. 2. Элементарные статистические выводы
Во всех случаях мы отвергаем Я0, если Р <а. Здесь 100 (1 — — а) % -ным доверительным интервалом для разности ц± — Цг между средними является
-*a.)±fi-«x/2>(m + nj-2)sp j/J_+ > (2.3.7)
где ti_a_ + n2 — 2) есть 100 — у)-я процентиль ^-распределения Стьюдента с п± + п2 — 2 степенями свободы.
Пример 2.3.2 (продолжение). Проверим теперь гипотезу о том, что финальное среднее ^ для десятичного логарифма лактата у умерших пациентов больше, чем финальное среднее и.2 для выживших пациентов. Здесь #„: u.j — |i2 = 0 и Нх: ц,х — ц,2 > 0, а за уровень значимости примем а = 0.05. Выборочными статистиками будут п\ = 41, X]. = 0.695, Si = 0.326, п2 = 70, х2. = = 0,399 и s2 = 0.383. Объединенная выборочная дисперсия есть
s2 (41 - 1) (0.326)»+ (70- 1) (0.383)» п .„„
SP - 41+70-2 -иЛбг'
а значение ^-статистики равно
, 0.695 — 0.399 . , .
*о =-г . . —=— = 4Л4
с v = 109 степенями свободы. Так как Р <¦ 0.001, то Я0 отвергается в полном соответствии с представлениями медиков (Weil, Afifi (1970)).
95 %-ным. доверительным интервалом для u.x — и.3 служит
(0.695 — 0.399) ± 2.00 Y0A32(-JT + "?т) = (0Л53, °-439)-Следовательно, с вероятностью 0.95 этот интервал содержит истинное значение разности средних ^i — u.2.
Заметим, что двухвыборочный ^-критерий предполагает равенство дисперсий в популяциях, т. е. а] = а\ = ст2. Это предположение можно проверить с помощью критерия отношения дисперсий. Например, если х1Ь х\Пх и х21, Хчпг суть~^елучайные выборки из популяций с распределениями N (ц1( а2) и N (ц2, о^). то нулевую гипотезу Я0: а\ = а\ можно проверить с помощью статистики
F0=s\/4, • (2.3.8)
гдев| — дисперсия t-й выборки, i = 1,2. Если гипотеза Я0 верна, то F0 имеет /•'-распределение с v,_ — пх — 1 и v2 = /г2 — 1 степенями
2.3. Анализ двух непрерывных случайных величин
93
свободы (табл. 6, приложение II). Так как нижние процентили для /•¦-распределения в указанной таблице не приводятся, то если это необходимо, выборки должны быть перенумерованы так, чтобы выполнялось соотношение ві ^ В этом случае /-"о ^ 1 и Р-значения зависят лишь от правого хвоста ^-распределения. В следующей таблице Р-значения приводятся для двух альтернатив: Нх: а\.> сі и Н\\ о? Ф 0І
Нулевая гипотеза Альтернативная гипотеза Р-значение
Я„: о? = о г Я,: о? > огг P=Pr(F(vl.v2)>F0) P=2Pr(F(vl,vi)>F0)
Следует заметить, что этот критерий тоже очень чувствителен к отклонениям от предположения о нормальности. Поэтому его нельзя использовать, если есть сомнения относительно нормальности распределения.
Пример 2.3.2 (продолжение). Проверим теперь гипотезу о равенстве дисперсий в этом примере. Так как > sj, то поменяем номера популяций, так что теперь Wx — популяция выживших, а №2 — умерших пациентов. Проверим гипотезу Я0: о\ = 02 против Н\\ о? Ф of с уровнем значимости а — 0.05. Так как выборочные статистики равны пх = 70, st = 0.383, /г4 = 41 и s2 = 0.326, то F0 = (0.383)2/(0.326)2 = 1.38. Поскольку F0.95 (69, 40) 1.6, то Р-значение больше, чем 2 (0.05) = 0.10, и гипотеза #0 принимается.
