Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Если гипотеза о равенстве дисперсий себя не оправдала, то более подходящим, чем двухвыборочный ^-критерий, оказывается критерий Уэлча (Welch (1937)). В нем для проверки гипотезы #„: 14 — Ш = 8 против альтернативы Ях: и.х — и.2 ф 8, lh — < 8 или fij — ца > б используется статистика
(2.3.9)
Если гипотеза Н0 верна, то для больших выборок ?0 имеет приблизительно ^-распределение Стьюдента, а приближением для числа степеней свободы служит
\пг ^ п2) /^«2(^-1) ^"1(«2- I) У' ^ '
Так как V не обязательно целое, то Р-значение можно получить с помощью линейной интерполяции в табл. 5, приложение II. Этот
94
Гл. 2. Элементарные статистические выводы
критерий имеет преимущество перед двухвыборочным ^-критерием, если дисперсии популяций заметно различаются, поскольку он дает более близкий к истинному уровень значимости а.
Замечание 2.3.2. Были рассмотрены три ^-критерия для сравнения двух средних при следующих общих предположениях: а) соответствующие распределения нормальны и Ь) внутри популяции индивидуумы выбираются случайно. Различия в предположениях относятся к а) равенству дисперсий о? и а\ и Ь) независимости двух выборок. Если объемы выборок п{ и пг равны, то выбрать соответствующий ^-критерий помогает следующая таблица:
Равенство Неза] знсимость выборок
дисперсий Да Нет
Да Двухвыборочный Парный /-критерий
Нет /-критерий /-критерий Уэлча Парный /-критерий
Некоторые программы в ПСП (например, SPSS T-TEST) вычисляют и печатают критерий отношения дисперсий (2.3.8), двухвыборочный ^-критерий (2.3.5) и ^-критерий Уэлча (2.3.9). Поэтому пользователь может сначала проверить значимость F-критерия, что позволит сделать правильный выбор между двумя ^-критериями.
Пример 2.3.3. В этом примере исследовались две группы детей с полиневритом Guillain-Barre (Eberle et at. (1975)). Это заболевание вызывает мускульную слабость, которая оценивалась по порядковой шкале. Первая группа состоит из 36 полностью выздоровевших детей, а вторая — из 11 детей с остаточной мускульной слабостью через 3 года после начала заболевания. Проводились наблюдения за следующими величинами: Хх — число суток с начала заболевания до максимальной слабости, Х2 — число суток с начала заболевания до начала улучшения, Х3 — число суток от максимальной слабости до начала улучшения. По полученным данным предстояло ответить на вопрос: существуют ли значимые различия между средними по двум группам для какого-нибудь из трех показателей?
2.4. Анализ р>2 непрерывных случайных величин
Вывод программы SPSS приводится в следующей таблице.
Случайная величина Критерий отношения дисперсий " Двухшборочный t-критерий t-критерий Уэлча Среднее ± sd"*
F Р t Р t Р Группа I Группа Ж
Ху 4.55 0.02 -0.03 0.98 -0.04 0.97 10.4 + 9.9 10.5 ± 4.6
1.30 0.53 -1.63 0.11 -1.52 0.15 18.6 + 15.2 27.4 ± 17.4
х3 2.15 0.09 -2.13 0.04 -1.74 0.10 8.2 + 10.6 16.9 ± 15.6
*) Р-значение вычислено в предположении двусторонней альтернативы. **) sd — аббревиатура от standard deviation (стандартное отклонение).— Прим. ред.
Из таблицы следует, что гипотеза о равенстве дисперсий отвергается только для X,. ""Поэтому для Ху следует применять ^-критерий Уэлча, а для Ха и Х.6 — двухвыборочный ^-критерий.
2.4. Дескриптивные программы с расслоением данных. Анализ р > 2 непрерывных случайных величин
Обобщим теперь идеи предыдущего раздела на случай р ^ 2 непрерывных случайных величин. Как и в предыдущем разделе, рассмотрим сначала случайные величины Хи Хг, -Хр, определенные на одной и той же популяции №. Здесь можно исследовать р (р + 1)/2 различных коэффициентов ковариации или корреляции между Х1 и Х}, I, \ = 1, 2, р. Случайная выборка ; из этой популяции состоит из п наборов по р наблюдений в каждом, причем все р наблюдений одного набора проведены за одним и тем же индивидуумом выборки.
Затем изучим ситуацию, когда одна случайная величина X определена на р популяциях №и №.5, №р. Как и ранее, эти популяции можно рассматривать, как подпопуляции (или слои) из более широкой популяции №. Здесь р независимых случайных - выборок производятся из р распределений. Будет показано, как .; проверка гипотезы о равенстве средних у величин Хъ Хр ; приводит к ?'-отношению однофакторного дисперсионного ана-\ лиза. Далее обсудим вопрос о том, как можно производить сравне-ния между средними с помощью методов множественного сравне-к ния. Рассмотрим сначала один частный случай.
I
(
96
Гл. 2. Элементарные статистические выводы
2.4.1. Одна популяция, р случайных величин
Пусть у нас имеются данные о р случайных величинах Ху, Х2, ...
Хр, определенных на популяции Ц7. Далее, р< и а2 — среднее и дисперсия величины Х{, а Оц = а л — ковариация между Хг и Х7-, I, / = 1, 2, р. (Заметим, что а,,- = а\, I = 1, 2, .... р.) Тогда коэффициент корреляции ра между Х1 и Х] определяется как
Р" = 5^« /*=1-2..., р. (2.4.1)
Здесь ри = р22 = • • • = ррр = 1 и —1 < ри = ря <: 1 при I =^ /• В разд. 3.1 будет показано, что р^ — мера линейной связи между Х1 и X], а в разд. 3.3 — что р2у- играет важную роль в выборе наилучшего предиктора в многомерном регрессионном анализе.
