Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Выборочные средние упорядочены в порядке возрастания, а однородные группы объединены в подмножества. Анализ двух подмножеств рассматриваемых данных показывает, что гипотезы
= Ш = Щ = гЧ = Ш = [*7 и Щ = (*4= Н = = Из приемлемы при 95 %-ном доверительном уровне. Внутри каждого подмножества ни одна из пар средних не различается значимо, но средние из разных подмножеств могут различаться значимо. Из таблицы вытекает, что при общем доверительном уровне, равном 95 %, значимыми являются разности средних цх — ц8 и р,2 — и-3.
106 Гл. 2. Элементарные статистические выводы
2.5. Программы перекрестного табулирования. Анализ таблиц сопряженности признаков
В разд. 1.7.4 программы перекрестного табулирования рассматривались как средство одновременной проверки двух переменных. Обсуждение статистической проверки гипотез было отложено до этого раздела. Напомним, что каждый элемент выборки одновременно классифицировался с помощью двух факторов (или признаков): А (г классов или уровней) и В ( с классов). Это позволило получить гХс-таблицу сопряженности признаков для выборки объема п из популяции №, где обозначает число индивидуумов с ?-м уровнем признака А и /-м уровнем признака В, — общее число индивидуумов в строке I, а — в столбце /, ? = = 1, г; / = 1, с.
После построения этой таблицы можно проверить гипотезы о факторах А и В. Все эти гипотезы можно сформулировать в терминах независимости факторов А и В. В этом контексте независимость означает, что доля общего числа индивидуумов в строке, принадлежащая произвольному, но фиксированному столбцу, одна и та же для всех строк, и что доля общего числа индивидуумов в столбце, принадлежащая произвольной, но фиксированной строке, одна и та же для всех столбцов.
В некоторых ситуациях уровни одного фактора (например, А) являются непересекающимися подпопуляциями №и №2, популяции №. В этом случае гипотезу независимости можно формулировать и-как гипотезу об однородности фактора В по отношению к уровням фактора А. Рассмотрим теперь несколько примеров, иллюстрирующих указанные различия.
2.5.1. Гипотезы об однородности
Как уже указывалось, в этом случае уровни А расслаивают популяцию № «а г непересекающихся подпопуляций №2, №г. Любой индивидуум из №г попадает в один и только один из классов фактора В. Пусть р1)—доля индивидуумов из подпопуляций №;, попавших в /-й класс фактора В. Тогда гипотезу Я0 об однородности можно записать в виде Я0: рх1 = рц = ¦ • • = рг] для всех / = 1, с. Это означает, что доля индивидуумов в любом классе / одна и та же для всех подпопуляций. Альтернативная гипотеза Нг состоит в том, что некоторые из этих долей не равны.
Заметим, что уровни А, расслаивающие № на подпопуляций, измеряются в шкале наименований, а уровни В могут измеряться как в шкале наименований, так и в порядковой шкале. Кроме того, непрерывные случайные величины, измеряемые в интервальной или относительной шкалах, могут быть преобразованы в порядковую шкалу. Приведем теперь соответствующие примеры.
2.5. Анализ таблиц сопряженности признаков
109
Пример 2.5.1 (г = с = 2). Пусть № — популяция взрослых, разделенная по признаку пола Л, а признак В — наличие или отсутствие рака. В этом случае В измеряется по шкале наименований, а 2х2-таблица сопряженности признаков имеет вид
В = Рак
1 = Есть 2 = Нет
1 - Муж.
А — Пол
2 = Жен.
Здесь ри — доля мужчин, а рг1 — доля женщин, больных раком, т. е. Я0: ри — р21. Заметим, что последнее влечет за собой равенство р12 = р22. Эту гипотезу об однородности можно переформулировать в терминах независимости как Я0: наличие рака не зависит от пола.
Пример 2.5.2 (г = 2, с = 3). Пусть популяция № критически больных пациентов разделена по полу, а признак В разделяет больных на 3 класса в соответствии с их клиническим состоянием после определенного лечения. Тогда 2ХЗ-таблица сопряженности признаков имеет следующий вид:
В = Клиническое состояние после лечения
1 = У худ- 2 = Без 3 = Улучшение измене- шенне
НИИ
1 = Муж.
А = Пол
2 = Жен.
Гипотеза об однородности формулируется как #0: ри = рп, Ри — Ра> Pi3 — Ръа> а гипотеза о независимости, как Я0: клиническое состояние после лечения не зависит от пола.
Пример 2.5.3 (г = 5, с = 3). Пусть популяция W критически больных пациентов с циркуляторным шоком расслоена на 5 под-популяций в соответствии с типом шока, а признак В разделяет больных на 3 класса в соответствии с их клиническим состоянием
по
Гл. 2. Элементарные статистические выводы
после определенного лечения. Тогда 5хЗ-таблица сопряженности признаков имеет вид
В = Клиническое состояние после лечения
1 = Ухудшение 2 = Без изме- 3=-Улучшение нений
1
2
Л = Тип шока 3
4
5
Здесь гипотезой об однородности будет Я0: рп = • • • = рЬ1, р12 = ... = р52, р13 = ... = рьз, а гипотезой о независимости — Я0: клиническое состояние после лечения не зависит от типа шока. Заметим, что в этом примере популяция расслоена более, чем на две подпопуляции.
Пример 2.5.4 (г = 2, с = 3). Пусть популяция № критически больных пациентов расслоена по признаку пола, а случайная величина X — возраст индивидуума в этой популяции. Пусть признак В, соответствующий возрастной группе, равен 1 для X < 30, 2 — для 30 < X < 45 и 3 — для X > 45. Таким образом, величина X переводится в порядковую шкалу, так что 2x3-таблица сопряженности признаков принимает вид
