Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 2.6.1 (продолжение). В следующей таблице приводятся значения описанных выше статистик для 2х2-таблицы частот этого примера.
Статистика Значение ±ASE 2 Р-значение (двустороннее)
Точная Фишера (односторон- — —. 0.14
няя)
Точная Фишера (двусторон- — — 0.17
няя)
X2 (двусторонняя) 2.39 — 0.12
Скорректированная х2 (двусто- 1.13 — 0.28
ронняя)
Ф 0.238 - —
Коэффициент Юла С} (двусто- 0.680±0.313 2.17 0.03
ронний)
Коэффициент Юла У (двусто- 0.392±0.247 1.59 0.11
ронний)
Отношение шансов о (односто- 5.250±6.123 0.86 0.39
роннее)
Заметим, что все двусторонние критерии, за исключением критерия Юла Q, незначимы. Значение г получено из (2.6.1).
Отношению шансов можно приписать следующий смысл. Если исходный фактор А имеет уровни (аъ а2), а результирующий фактор В — уровни (Ьъ Ь2), то отношение шансов о можно интерпретировать следующим образом: «Шансы на то, что индивидуум выйдет на уровень blt если известно, что он начинал с уровня аъ в о раз больше, чем если бы он начинал с а2.» Например, из таблицы следует, что у курящего мужчины в 5.25 раз больше шансов иметь ненормальный FEV!, чем у некурящего.
В табл. 2.6.1 приводятся отношения шансов для шести показателей легочной функции, рассматриваемых Azen et al. (1977а). Таблица основана на всей выборке из 644 индивидуумов, что предпочтительнее подвыборки объема 42. Отношения шансов вычислены отдельно для мужчин и женщин. Для мужчин ненормальные AiV2 и FEVi более всего связаны с курением (наибольшие шансы); для женщин с. курением .больше всего'"'связа-но ДАГ2.
Если отношения шансов для мужчин и женщин различаются незначимо, то их можно пересчитать, чтобы получить общее отношение для мужчин и женщин. Метод объединения отношения шансов называется процедурой Мантеля—Хэнзеля и обсуждается в работах Fleiss (1973) и Mantel, Haenszel (1959).
120
Гл. 2. Элементарные статистические выводы
Таблица 2.6,1
Относительный риск ненормальной функции у курищнх по сравнению с некурящими
_ Отношение шансов
Показатель
легочной функции „ ,„ _^
Мужчины Женщины Объединенное
AN2 (% nja) FEVi (л) *) FVC (л)
V'max (л/с) Ко (л/О Къ (л/с)
5.3 3.1 3.4
4.7 0.9 —
1.0 0.9 0.9
2.2 2.1 2.2
2.2 2.6 2.5
2.2 1.7 1.8
* Измерения для мужчин и женщин объединять нельзя.
2.6.2. rxc-таблица сопряженности признаков
Рассмотрим теперь общий случай rXc-таблицы сопряженности признаков. Как и в разд. 2.5, пусть fa — наблюдаемая частота в ячейке ij, ft. — сумма в строке г, f.j — сумма в столбце / (г = = 1, r\ j= 1, с), а п — общий объем выборки. Для проверки гипотезы Н0 об отсутствии связи обычно применяется формула (2.5.2).
Две меры, основанные на %2, используются как показатели степени связанности между признаками. Одной из них является введенный Пирсоном (Pearson (1901)) коэффициент сопряженности признаков
С = (х2/(" + Х2)),/2- (2.6.10)
Эта статистика обладает рядом удобных свойств, так как 1) 0 <s < С < 1; 2) С = 0 означает отсутствие связанности между А и В; 3) С = 1 — наличие сильной связанности. Нежелательным является тот факт, что верхний предел С зависит от размера таблиц. Можно показать (Kendali, Stuart (1967), с. 747), что верхней границей С служит
Craax = [min(r-1, c-l)/(l+min(r-l, с-1))]«/а. (2.6.11)
Уровень значимости для критерия Е (С) = 0 тот же, что и для критерия независимости %а.
Другая мера степени связанности была введена Крамером
(Cramer (1946), с. 480). Мера Крамера выражается формулой
V = [%V(n(q- I))]'/2, (2.6.12)
где q = min (г, с) вводится для компенсации факта прямой зависимости %а от п. Значения У изменяются от 0 (связанность
2.6. Другие критерий независимости
121
между А и В отсутствует) до 1 (полная связанность между А и В). Крамер показал, что процентили выборочного распределения V можно получить простой заменой переменных в распределении х2- Если г = с = 2, то V совпадает сФ из (2.6.5). Асимптотическая стандартная ошибка V имеет вид
АЭЕ (V) = [п{д - I)]-1/2. (2.6.13)
Пример 2.6.2. В условиях примера 2.6.1 была составлена таблица сопряженности признаков А = РЕУх (нормальное или ненормальное) к В — привычка к курению (некурящие, курящие, бросившие курить) для мужчин.
В = Привычка к курению
Некурящие Курящие Бросившие курить
Ненормально 2 16 4 22
Нормально 64 83 46 193
66 99 50 215
По данным из этой таблицы были вычислены соответствующие статистики. Так, f = 7.787, С = [7.787/(215 + 7.787)]1/2 = 0.187, О™ = [1/(1 + 1)]'/2 = 0.707, V = [7.787/215 (2 — I)]1/2 =
= 0.190. Для проверки гипотез #„: Е (С) = 0 или #„: Е (V) = 0 можно использовать распределение х2 с двумя степенями свободы. Так как Р = 0.02 < 0.05, то Н0 отвергается в обоих случаях. Как видно из данных, имеется значимая связанность между ненормальным значением FEVi и курением, так как относительная частота равна 16/99 = 0.16 для курящих, 4/50 = 0.08 для бросивших курить, 2/66 = 0.03 для некурящих.
2.6.3. Упорядоченные таблицы сопряженности признаков
Некоторые программы из ПСП (например, BMDP1F и SPSS CROSSTABULATION) вычисляют меры связанности для упорядоченных таблиц сопряженности признаков, в которых уровни А упорядочены от 1 до г, а уровни В — от 1 до с. Эти меры относятся к корреляционному анализу (см. гл. 3) и используются, так же как непараметрические меры корреляции (Kendall (1962) и Kendall, Stuart (1967)). Однако в этом разделе мы рассматриваем их как средство для проверки связанности между признаками А и В в частном случае упорядоченной rXc-таблицы сопряженности признаков. Из них первая — мера хь Кендалла — применяется
