Химия твердого тела. Теория и приложения: В 2-х ч. Ч. 1 - Вест А.
ISBN 5-03-000056-9
Скачать (прямая ссылка):
Направлениями в кристаллах и решетках называются прямые, проходящие через начало координат. Все прямые, параллельные данному направлению, имеют одинаковые обозначения. Пусть некоторая прямая проходит через начало координат и точку с координатами х, у, г, тогда она проходит также через точки с координатами 2х, 2у, 2г; Зх, Зг/, 2>г и т. д. Эти координаты, записанные в квадратных скобках [х, у, г\, есть индексы данного направления; индексы представляют собой тройку наименьших целых чисел, которые можно получить путем деления
или умножения на постоянный коэффициент. Так, набор
1 1 п 1?°
[ПО], [330] относится к обозначениям с помощью индексов од
174
5. Дифракция рентгеновских лучей
ного и того же направления, однако обычно для этого направления используют индексы [ПО]. В кубических системах направление [1гЫ] всегда перпендикулярно плоскости (Ш), имеющей те же индексы. В некубических системах это верно далеко не всегда. Семейства направлений, преобразующиеся друг в друга операциями симметрии, называют эквивалентными. Они обозначаются общим символом <Ш>. Например, в кубической решетке направления [100], [010] и др. эквивалентны друг другу. Они обозначаются символом <100>. На рис. 5.23 для выделенных направлений приведено их описание с помощью индексов.
5.3.7. Формулы для расчета межплоскостных расстояний
Ранее ул<е было дано определение межплоскостных расстояний некоторого семейства плоскостей как расстояний между парами соседних плоскостей в данном семействе. Величина межплоскостного расстояния входит в уравнение Брэгга. В кубической элементарной ячейке межплоскостные расстояния между плоскостями (100) равны периоду ячейки а (рис. 5.22,6). Для плоскостей (200) кубической ячейки й = а12 и т. д. В ортогональных ячейках (сх='|3 = у = 90°) межплоскостные расстояния для любого семейства плоскостей связаны с параметрами решетки следующим соотношением:
1 *' + -т>-+ 4" (5-4)
сРш а? Ь* с*
Для тетрагональных ячеек (а—Ь) уравнение (5.4) упрощается. Еще более простой вид это уравнение имеет в случае кубических кристаллов (а = Ь = с):
й2 я2 v 7
Проверим справедливость уравнения (5.5) на примере плоскостей семейства (200) кубической ячейки. Поскольку Н = 2, к = 1~ = 0, то 1/с12^4/а2 и, следовательно,
Л = а/2
Формулы для межплоскостных расстояний в моноклинных И особенно триклинных кристаллах имеют гораздо более сложный вид, так как углы в таких решетках отличны от 90°. В соответствующие формулы в качестве переменных входят не только линейные параметры решетки, но и углы. Формулы для расчета межплоскостных расстояний и объемов элементарных ячеек приведены в приложении (разд. 6).
5.3. Определения
175
5.3.8. Плоскости решетки и межплоскостные расстояния. Сколько их может быть?
Число возможных семейств плоскостей решетки и отвечающих им межплоскостных расстояний обычно велико, но выражается конечной величиной. Существует две причины конечности этого числа. Во-первых, нижний предел возможных значений межплоскостных расстояний определяется длиной волны рентгеновских лучей, используемых в дифракционных экспериментах. Так, согласно закону Брэгга, n% — 2d sin 9 и, следовательно, d = nX/2 sin Q. Максимальное значение sin 6 равно 1 (когда 26 = = 180°). Поэтому минимальное межплоскостное расстояние может быть равно XJ2 (для п=1). Для Cu/Ca-излучения У2« «0,77 А. При необходимости измерять меньшие межплоскостные расстояния следует заменить медный анод рентгеновской трубки на другой с более жестким излучением (с меньшей длиной волны), например на молибденовый анод (табл. 5.1).
Во-вторых, число семейств плоскостей решетки ограничено, поскольку индексы Миллера, входящие в формулы для расчета межплоскостных расстояний, могут быть лишь целыми числами (т. е. h, k, 1 = 0, 1, 2, ...). Межплоскостные расстояния обратно пропорциональны значениям индексов Миллера. Так, наибольшие значения межплоскостных расстояний отвечают плоскостям (100), (010), (001), (ПО) и т. д. Если параметры элементарной ячейки известны, то можно рассчитать величины межплоскостных расстояний, подставляя в соответствующие формулы различные значения h, k, I. Рассмотрим, например, ромбическую элементарную ячейку с параметрами а — — 3,0 А, Ь=4,0 А, с = 5,0 А. Для расчета межплоскостных расстояний используют формулу (5.4):
dhki ~~ 9 ~1~ 16 25
При этом ограничимся лишь двумя значениями индексов h, k, t: 0 и 1. В табл. 5.4 приведены возможные комбинации hkl и рас
Таблица 5.4. Рассчитанные значения межплоскостных расстояний для ромбической ячейки (а=3,0А, 6=4,0 А, с=5,0А)
hkl d, А hkl d, X
001 5,00 101 2,57
010 4,00 110 2,40
011 3,12 111 2,16
100 3,00
176
5. Дифракция рентгеновских лучей
считанные значения d. Приведенные в табл. 5.4 значения межплоскостных расстояний расположены в порядке их уменьшения, поэтому комбинация индексов 100 идет позже, чем 011. Естественно, что приведенный перечень плоскостей может быть продолжен для больших значений hkl. Перечень плоскостей окончится при некотором минимальном значении межплоскостного расстояния d. Если бы мы договорились использовать и другие значения hkl, кроме 0 и 1 (например, 2), то можно было бы получить величины межплоскостных расстояний, большие, чем некоторые из приведенных в табл. 5.4. Например, для комбинации hkl 002 d=2,5 A.
