Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
" -*i Зл zi
Таким образом, эта столбцовая матрица представляет собой вектор.
Если столбцовые матрицы используются для описания векторов, то квадратные матрицы применяются для представления операций симметрии. Выполнение операций симметрии с вектором фактически является геометрическим преобразованием. Как же можно эти геометрические преобразования перевести на матричный «язык»? Рассмотрим специальный случай и проанализируем, как операции симметрии, характерные для групп симметрии Cs, могут быть применены к вектору, изображенному на рис. 4-4. В матричной форме мы сначала записываем (или обычно представляем себе это в уме) координаты первоначального вектора в верхней строке, а координаты вектора, получающегося в результате операций симметрии, в левом столбце:
У\ z\*~ исходный вектор
результирующий х{ вектор у{
2i L
Затем мы подробно исследуем результат применения операций симметрии. Если данная координата преобразуется сама в себя, то на место
І9П
І 'лина 4
их пересечения ставится 1; если при преобразовании меняется знак, то ставится —1. Эти символы появятся на диагонали матрицы. Если же координата преобразуется в другую координату со знаками + или —, то в местах соответствующих пересечений появятся 1 или — 1; это будут уже недиагональные элементы.
В точечной группе С; имеются две операции симметрии, Е и ак. Операция идентичности ? не меняет положения вектора, поэтому она может быть представлена в виде единичной матрицы:
*1 Уі 2]
1 0 0 *\
Уі 0 1 0 • У\ — Уі
2,' 0 0 1 21
В другом обозначении это выглядит так: Е-= и,
Если аи- элементы матрицы, а А,-- компоненты вектора, то компоненты вектора с,, являющегося произведением, выражаются следующим образом:
Чтобы получить первый матричный элемент результирующего вектора, все элементы первой строки квадратной матрицы умножаются на соответствующие элементы столбцовой матрицы, а затем складываются. Чтобы получить второй матричный элемент, повторяется та же самая процедура со второй строкой матрицы и т. д., как показано ниже *:
1 0 0 *1
0 1 0 • у.
0 0 1 *1
І-Жі + О'^і + О-Ж! О'*! + 1 -уі + 0-2] О'*! + 0-^1 +Т • 2і
*1
— Уі
21
Другой операцией симметрии в точечной группе С5 является отражение в горизонтальной плоскости (рис. 4-5). На матричном языке эта операция записывается так:
* Отсюда следует, что произведение двух матриц можно определить только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы,- Прим. перев.
Полезный мл іемаї пчесмін анпараї
191
Рис. 4-5.
Отражение вектора в горизонтальной плоскости.
*і У\ *і
То о *1 — — 1 'Хі + О-^і + 0 '21
УІ 0 1 0 У\ - 0-*1 + 1 уі + 0-2] - Уі
1' 0 0-1 21 0-*і +0-я+<-!)*! -21
Часто случается, что координаты не только просто преобразуются друг в друга с помощью операций симметрии. Например, в случае применения оси вращения третьего порядка приходится прибегать к тригонометрическим выражениям.
На рис. 4-6 показан вектор, повернутый на угол а в плоскости ху. Координаты результирующего вектора связаны с координатами исходного вектора следующим образом (р- вспомогательный угол, введение которого пояснено на рис. 4-6):
Рис. 4-6.
Поворот вектора на угол а в плоскости ху.
*\
7 \у\
р.
К*
19:
Глава 4
х, = reos Р и yl = rs'm Р (4-1)
х2 = г ¦ cos (а - Р) и v2 = — г ¦ sin (а — Р) (4-2)
Используя тригонометрические выражения, получаем cos (а — Р) = cos а ¦ cos р 4- sin а ¦ sin Р
sin (а — Р) = sin а • cos р — cos а • sin р Теперь подставим уравнения (4-3) и (4-1) в (4-2):
х2 = г ¦ cos а • cos Р + /¦ • sin а • sin Р = х, - cos а + у\' sin а
у2 = — г ¦ sin а • cos Р + г • cos а ¦ sin Р = — х, ¦ sin а 4- у\ ¦ cos а Те же самые уравнения в матричной формулировке выглядят так: cos a sin а
(4-3)
(4-4)
*1 х2
-Уі- -У 2-
Квадратная матрица, приведенная выше,-это матричное представление вращения на угол а.
-ТГоскольку матрицы можно использовать для описания операций симметрии, набор матриц, отражающих все операции симметрии точечной группы, будет представлением этой группы. Более того, если набор матриц образует представление группы симметрии, то он будет подчиняться всем правилам, характерным для математической группы. Для этого набора будет также справедлива таблица умножения группы. Возьмем опять в качестве примера молекулу 802С12. Эта молекула принадлежит к точечной группе С2о, и некоторые из ее операций симметрии уже отмечались на рис. 4-2. Чтобы построить соответствующие матрицы, можно воспользоваться тем же методом, который уже применялся нами для вектора. Запишем исходные положения ядер молекулы в верхней строке, а положения ядер после применения операции симметрии в левом столбце.
В точечной группе С2и имеются четыре операции. Операция Е оставляет молекулу неизменной, поэтому соответствующая матрица является единичной:
Si С12 С13 о4 05
Si' 1 0 0 0 0
су 0 1 0 0 0
сі,' 0 0 1 0 0
о«' 0 0 0 1 0
05' 0 0 0 0 1
Полезный математический аппарат
193
Ось вращения второго порядка заставляет два атома хлора и два атома кислорода соответственно поменяться своими местами, а атом серы остается на месте:
