Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Харгиттаи И. -> "Симметрия глазами химика" -> 53

Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.

Харгиттаи И., Харгиттаи М. Симметрия глазами химика — М.: Мир, 1989. — 496 c.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка): xagita.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 140 >> Следующая

148. Benfield R.E., Johnson B.F.G., i. Chem. Soc. Dalton Trans, 1743 (1980).
149. Kepler J., Mysterium cosmographicum, 1595.
4
Полезный математический аппарат
4.1. Группы
До сих пор наше рассмотрение предмета не носило математического характера. Однако совсем необязательно, что пренебрежение математикой упрощает изложение. В математике имеется специальный раздел (теория групп), созданный для описания операций симметрии. Эта теория облегчает понимание и использование концепции симметрии. Следует отметить, что без теории групп было бы просто невозможно решить ряд сложных задач. Кроме того, группы вызывают чувство восхищения.
В этой вводной главе сообщаются сведения, необходимые для понимания трех следующих глав, посвященных колебаниям молекул, электронному строению и химическим реакциям. Для более глубокого понимания данного предмета рекомендуем дополнительную литературу [1-5].
Математическая группа - это очень общее понятие, частным случаем которого является тот вариант, когда элементы группы-операции симметрии. Если симметрия молекулы обозначается символами Шёнфлиса (например, С2„, С3„ или С2к), то оказывается, что они представляют собой строго определенные группы операций симметрии. Рассмотрим сначала точечную группу С2„. Она состоит из поворотной оси второго порядка С2 и двух отражений во взаимно перпендикулярных плоскостях ац и а'„, пересечение которых совпадает с поворотной осью. Все эти элементы симметрии показаны на рис. 4-1. К ним можно еще добавить один элемент, называемый операцией идентичности*, Е. Ее применение оставляет молекулу неизменной. Полный набор всех операций С2, <т,„ а'и и Е образует математическую группу.
Математическая группа - совокупность некоторых элементов, связанных друг с другом определенными правилами. Мы проиллюстрируем это на примере операций симметрии.
1. Произведение любых двух элементов группы является элементом группы. В данном случае термин «произведение» означает последовательное применение этих двух элементов, а не обычное перемножение.
* Синонимами этого термина являются «тождественная операция» 'и «единичная операция». Прим. перев.
Полезный математический динара!
1X3
1
ой
Рис. 4-1.
Операции симметрии в точечной группе С2с.
Так, например, произведение <т„ ¦ С2 означает, что сначала к какому-либо выражению* применяют ось симметрии второго порядка, а затем уже на получившееся выражение действуют операцией отражения. Теперь применим все эти операции к положениям атомов в молекуле сульфу-рилхлорида (рис. 4-2, а). Очевидно, тот же самый результат может быть достигнут просто отражением в плоскости а'„, что показано на рис. 4-2, б. Таким образом, имеем
«V С2 = ст'„
2. В общем случае произведение элементов группы не обладает свойством коммутативности. Это означает, что результат последовательного применения операций симметрии зависит от того порядка, в котором они применяются. На рис. 4-3 показан пример с молекулой аммиака, принадлежащей к точечной группе С3о. Результат различается в зависимости от того, применяется ли сначала операция С3, а затем ст^' или же.наоборот. Произведение операции идентичности с любым элементом группы обладает свойством коммутативности по определению. Так, например,
С3Е= ЕС3 и а„-Е = Е-ае
Точечная группа С2„ необычна в том отношении, что все возможные произведения ее элементов обладают свойством коммутативности. Так, на рис. 4-2, а мы могли бы получить тот же самый результат, сначала применив отражение а„, а уже потом поворот второго порядка.
3. Произведения элементов группы всегда обладают свойством ассоциативности. Это означает, что, если имеется последовательность применения нескольких операций симметрии, они могут быть сгруппированы любым образом, не повлияв на окончательный результат, при условии, что порядок их применения сохраняется. Так, например,
С2' «V = С2'(«V <т|,) = (С2 ¦ а„) • ст'„
* Вскоре мы познакомимся с такими выражениями, имеющими отношение к строению молекул.
1X4
Глава 4
С1, С13 си С12 С1, С1,
V
си а, си С|,
л -
X
б
Рис. 4-2.
а-последовательное применение двух операций симметрии, С2ио,к положениям атомов в молекуле 802С12; б-применение операции ст; к 502С12.
н' н,
Рис. 4-3.
Иллюстрация некоммутативности операций симметрии.
4. Для каждого элемента X группы имеется обратная или взаимная операция X , удовлетворяющая условию
ХХ~1 = Х 1Х=Е Например,
С2С-1 = С'1С2 = Е
или
Полезный математический аппарат
185
Операции симметрии и обратные им операции можно найти в таблицах умножения групп. Эти таблицы состоят из проиведений элементов групп. Примером подобной таблицы для точечной группы С2„ является табл. 4-1. Она построена следующим образом: каждый элемент группы, т.е. операция симметрии, выписан без повторений в верхней строке и в левом столбце таблицы. Произведение двух элементов образуется так: первый элемент берется из строки, а второй из столбца, причем порядок применения этих элементов должен строго соблюдаться. Результат находится на пересечении соответствующего столбца и строки. Любой из этих результатов является операцией симметрии, также принадлежащей к точечной группе С2„. Действительно, каждая строка и каждый столбец самой таблицы состоят из тех же первоначальных операций, но перераспределенных некоторым образом; однако вы не найдете двух совершенно одинаковых строк или столбцов. Из этой таблицы умножения для группы С2„ видно, что обратной операцией для С2 является сама С2, так как на месте их пересечения находится Е\ сходным образом обратной операцией для а„ является о"„ в этой группе.
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 140 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed