Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Харгиттаи И. -> "Симметрия глазами химика" -> 54

Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.

Харгиттаи И., Харгиттаи М. Симметрия глазами химика — М.: Мир, 1989. — 496 c.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка): xagita.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 140 >> Следующая

По аналогии с табл. 4-1 в табл. 4-2 приводится таблица умножения для точечной группы С3[). Здесь вводится новое обозначение-возведение в квадрат:
^3 '^3 = ^з
Таблица 4-1. Таблица умножения для точечной группы С2„
Е
Е Е с2 а„
с2 с2 Е
< Е с2
< < с2 Е
Таблица 4-2. Таблица умножения для точечной группы С31
которое означает два последовательных применения поворотной оси третьего порядка. Применив такую операцию один раз, мы получаем поворот на 120°, а С\ означает поворот сразу на 240°. Соответственно обозначение С\ означает поворот на 2 (36075) = 144°.
Число элементов в группе называется порядком группы^ для его обозначения обычно используется символ А. Таблицы умножения для групп показывают, что h = 4 для точечной группы C2v и h = 6 для С3„.
Группа может иногда распадаться на два вида меньших образований, называемых подгруппами и классами. Подгруппа -это меньшая по размеру группа, входящая в данную и обладающая всеми четырьмя основными свойствами группы. Операция идентичности Е всегда образует свою собственную подгруппу, являясь обязательным элементом всех остальных возможных подгрупп.
Класс -это полный набор элементов (в нашем случае, операций симметрии) группы, сопряженные один с другим. Сопряжение означает, что, если А и В принадлежат к одному классу, в группе имеется некоторый элемент Z; для него
B = Z~lAZ
Такая операция называется преобразованием подобия. Другими словами, В является результатом преобразования подобия для А с помощью Z, т. е. А и В сопряжены. Обратная операция может быть применена с помощью таблицы умножения и правила 4, упомянутого выше:
Z^Z = Z Z* = Е
Для выяснения вопроса, какие операции внутри данной группы \ принадлежат к одному классу, нужно провести все возможные преобразования подобия. Проделаем необходимые выкладки для точечной группы C3v, начав с операции идентичности:
E~l-(E-E) = E~l-E = Е С'1-(Е-СЪ) = С3-!-С3 = С23С3 = Е (С1Г'-(Е-С1) = (С\Г1-С1-С\ = Е
a;l-(E-aJ = a~1av = av-ov = E о-;"1-(E-o'J = a'v-1 ¦ a'v = &v-ст'„ = E а'Г>-(Е-а:) =оГ' = = ?
Отсюда можно сделать вывод, что сама операция Е является классом; она коммутирует со всеми другими элементами группы, оставляя их неизменными. Следовательно, она не может быть сопряжена с любым другим элементом. Это общее положение в одинаковой мере справедливо для всех остальных групп. Теперь рассмотрим а„:
E-l(ovE)=E-1-av = Eot, = ov C-l-(a„C3) = C-lcj>v = C2ya:. = a:
Пик-,тли м.іісмапічіукіїіі .uuiupa
{С\)~1 ¦ (ак-С\) = (С\) " 1 • < = С3 • < = < <т;1-(/сг„-ст„; = с-1-Е=ос-Е=а„
<~1 • К ¦ О = <~1 • с3 = а; • с3 = <
Мы проделали все возможные преобразования подобия для операции а,,. Видно, что три операции, относящиеся к вертикальным плоскостям симметрии, принадлежат к одному классу. Мы пришли бы к такому же выводу, если бы рассмотрели преобразования подобия с участием двух остальных операций а„. Теперь рассмотрим С3:
Е'*-(С3-Е) = Е~1Сг = ЕС3 = С3
с3-'-(С3-с3) = с31-с\ = с1-с\ = с3
{С\У1-(С3-С\) = (С23)'1-Е=С3-Е=С3
о-;1 ¦ (с3 ¦ од = а„1 ¦ о'„' = а/ о-;' = с\
о-;"1 • (С3 ¦ о'„) =а'„-1а„ = а; ¦ о, = С23 а'/, -1 • (С3 ¦ а1) = < " 1 ¦ а'„ = а", ¦ а', = С\
Согласно этим преобразованиям, С3 и С\ сопряжены и, следовательно, принадлежат к одному классу.
Порядок класса определяется числом элементов в классе. Так, например, класс операций отражения имеет порядок 3 в группе С3г, а класс операций вращения имеет порядок 2. В общем случае порядок класса или подгруппы является делителем порядка группы*.
Математическое описание операций симметрии производится с помощью матриц.
4.2. Матрицы
Матрица представляет собой прямоугольную по форме совокупность чисел или символов. Эти элементы заключаются в квадратные скобки. Пример матрицы, составленной из чисел, приводится ниже:
" 3 1 0 2
5 7 0 - 3
_ 0 0 - 2 1 _
Обычно матрица имеет т строк и п столбцов:
* Из этого утверждения, известного как теорема Лагранжа, вытекает очевидное следствие: группа, порядок которой является простым числом, не имеет подгрупп.- Прим. перев.
I8X
Глана 4
a\i я\2 ...... a\n
a2\ a22 ...... a2„
°m\ апг ...... a„
Вышеприведенная матрица изображается заглавной буквой А. Другое обозначение выглядит так: [а,Л, где подстрочный индекс / обозначает число строк, 0 < [ ^ т, а индекс ] обозначает число столбцов, 0 /' < п.
Имеются некоторые специальные матрицы, которые потребуются для нашего изложения. Квадратная матрица -матрица с одинаковым числом строк и столбцов. В соответствии с общим обозначением матрица [а,. Л является квадратной, если т = п. Такой пример приведен ниже:
О 1 3 4 6 7
Особая разновидность квадратных матриц - единичная матрица, в которой все элементы, стоящие на диагонали, проходящей из левого верхнего в правый нижний угол, равны 1, а все остальные элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е. Три единичные матрицы приведены ниже:
О О
1 о о
Столбцовая матрица состоит только из одного столбца, например:
I " 2
3 J
Полезный математический аппарат
184
Столбцовые матрицы используются для представления векторов. Вектор характеризуется длиной и направлением. Вектор в трехмерном пространстве показан на рис. 4-4. Если вектор расположить так, что его начало совпадает с началом декартовой системы координат, то три координаты, описывающие положение противоположного конца, целиком определяют вектор. Эти три декартовы координаты записываются в виде столбцовой матрицы:
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 140 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed