Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
характеры
1 0 0
Е = 0 1 0 1+1+1=3
0 0 1
1 0
Е = 1 + 1=2
0 1
* - н
Отсюда следует, что характер Е всегда равен размерности данного неприводимого представления. Одномерные представления невырожден-ны, а дву- и многомерные представления вырожденны. Смысл вырождения обсуждается в гл. 6.
Настало время составить полную таблицу характеров. Таким примером для точечной группы С3„ является табл. 4-6. Рассмотрим теперь те символы, которые используются для обозначения неприводимых представлений. Это так называемые символы Малликена; более полно они представлены в табл. 4-7, а их смысл поясняется ниже.
Буквы А и В используются для обозначения одномерного неприводимого представления в зависимости от того, симметрично или
206 Глава 4
Таблица 4-6. Полная таблица характеров для точечной группы C3v
с3„ Е 2С3 За,
1 1 1 z Xі 4 у2, Z2
А2 1 1 -1
Е 2 -1 0 (x.y){Rx. Ry) (х2 - у1, xy)(xz, yz)
Таблица 4-7. Обозначения неприводимых представлений для конечных групп
Размерность представления Характер для Е С ' °(i ^2 или av Символ
. ) 1 1 1 -1 А В
2 2 Е
3 3 Т
1 -1 1 -1 1 -1 А, Вд Ед Тд Аи Ви Еи Ти A В А" В' А, В, Аг В2
' Ось С2 перпендикулярна главной оси.
антисимметрично оно по отношению к вращению вокруг главной оси в данной точечной группе. Под антисимметрией понимается изменение знака или направления (антисимметрия обсуждается в следующем разделе). Характер для симметричного представления равен +1, и это обозначается буквой А. Антисимметричность обозначается буквой В, ее характер —1. Символ Е* используется для двумерных, а символ Т (иногда ?)-для трехмерных представлений. Подстрочные индексы д и и указывают на симметрию или антисимметрию данного представления по отношению к инверсии. В немецком языке слово gerade означает «четный», а ungerade-«нечетный». Надстрочные индексы «'» и «"» указывают, симметрично или антисимметрично неприводимое представление по отношению к горизонтальной плоскости симметрии со-
* Не путать с операцией идентичности, которая также обозначается буквой
Е.
! іо.іс'інміі чці тематический ним ірат
20
ответственно. Индексы 1 и 2 для состояний А и В соответствуют симметричному (1) и антисимметричному (2) поведению относительно оси С2, перпендикулярной главной оси, а при ее отсутствии - вертикальной плоскости симметрии. Смысл индексов 1 и 2, относящихся к ? и Т, сложнее и здесь не рассматривается. В таблицах характеров бесконечных групп Са,„ и используются греческие, а не латинские буквы: так, X закреплена за одномерными, а буквы П, А, Ф и т.д. за двумерными представлениями.
Всегда возможно найти такую характеристику, которая остается неизменной при любой операции симметрии в данной точечной группе. Таким образом, всегда имеется неприводимое представление с характерами только 4-1. Это полностью симметричное неприводимое представление, и оно всегда стоит первым в любой таблице характеров.
Таблицы характеров обычно состоят из четырех основных частей (иногда из трех, если последние две части объединены в одну), как это видно на примере табл. 4-6 (для С3„) и табл. 4-8 (для С2Л). Первая часть таблицы содержит символы группы (в левом верхнем углу) и символы Малликена, относящиеся к размерности представлений и их связи с различными операциями симметрии. Вторая часть таблицы содержит операции классов симметрии (верхняя строка) и характеры неприводимых представлений группы.
Третья и четвертая части таблицы характеров содержат некоторые базисные функции данной группы, применяющиеся в химических задачах. В третьей части находятся шесть символов: х, у, г, Ку и Лг. Первые три относятся к декартовым координатам, которые мы уже использовали в качестве базиса для точечной группы С1И. Символы Кх, Яу и Я. обозначают вращения относительно осей х, у и 2. Последствия, возникающие при применении операций симметрии к вращению, можно наглядно показать на примере детской игрушки-юлы. Выведем характеры для вращения вокруг оси г в точечной группе СЪв (рис. 4-10, а). Очевидно, что операция идентичности оставляет вращающуюся юлу неизменной (характер 1). То же самое случится и с вращением относительно той же оси, поскольку поворотная ось симметрии неотличима от оси самой игрушки. Соответствующий характер опять равен 1. Теперь поставим рядом с вращающейся юлой зеркало (рис. 4-10,6). Не важно, где именно находится зеркало, но вращение в зеркальном
Таблица 4-8. Таблица характеров для группы C2h
с2„ Е с2 і Oft
А. 1 1 1 1 R, X2, у2, г2, ху
1 -1 1 -1 xz, yz
Аи 1 1 -1 -1 z
Ви 1 -1 -1 1 х- У
208
Глава 4
Рис. 4-10.
а единичная операция и ось С3 в применении к вращающейся юле; б-операция отражения для вращающейся юлы.
отображении будет всегда иметь противоположное направление по отношению к реальному вращению. Следовательно, характер равен — 1.
Таким образом, характеры вращения относительно оси г в точечной группе С3|. будут 11 -1. Действительно, Л2 принадлежит к неприводимому представлению А2 в таблице характеров для С31.. Другими словами, Л. преобразуется как А2, или оно образует базис для А2.
