Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
4.4. Характер представления
Введение неприводимых представлений-значительный шаг вперед в решении проблемы, связанной с размером исходных матриц. К счастью, возможно даже и дальнейшее упрощение. Вместо работы с неприводимыми представлениями можно просто использовать их характеры. Преимущества такого подхода будут достаточно хорошо продемонстрированы позже. Пока же дадим определение: характер (или след) матрицы-эю сумма ее диагональных элементов. Для следующей матрицы
х1\2 0 3
0\7Х\1 1 \ \
1 2\ 0\0
\ \
1 -2 3\-4Х
20:
характер равен
1 + 7 + 0 + (-4) = 4
Поскольку представление, будь то приводимое или неприводимое,-это набор матриц, соответствующих всем операциям симметрии данной точечной группы, характер представления является совокупностью характеров всех этих матриц. В простом базисе Агх и Аг2, использованном ранее для молекулы Н№МН, имеющей симметрию С2Л, представление состояло из четырех матриц размера 2x2:
1 0 0 1
характеры 1 + 1=2
0 1
1 о
0 + 0 = 0
0 1
1 о
0 + 0 = 0
о/,
1 о 0 1
1 + 1=2
Таким образом, характер этого представления выражается следующей совокупностью чисел:
2 0 0 2
Однако мы пока не знаем, приводимо или же неприводимо данное представление. Чтобы ответить на этот вопрос, мы сначала должны знать характеры неприводимых представлений точечной группы Си.
4.5. Таблицы характеров
Характеры неприводимых представлений сведены в специальные таблицы характеров. Мы здесь не будем касаться того, как находят характеры данного неприводимого представления*. Таблицы харак-
* Тем. кто захочет узнать, как это делается, можно порекомендовать книгу Р. Хохштрассера «Молекулярные аспекты симметрии» (М.: Мир, 1968). - Прим. перев.
I iii.ieiiii.-iii мл іе.ма і нческтііі ашіара і
теров всегда можно найти в учебниках и справочниках, а некоторые из них приводятся в последующих главах настоящей книги. Таблица характеров для точечной группы С1к показана в табл. 4-3. В верхней строке приводится полный набор операций симметрии данной группы. В
Таблица 4-3. Предварительная таблица характеров для точечной группы С21г
с2Н Е с.
Г, 1 1 1 1
г2 1 -1 1 -1
1 1 -1 -1
г4 1 -1 -1 1
левом столбце стоят некоторые временные обозначения, относящиеся к рассматриваемому случаю. Символ Г обычно используется для обозначения представления. Основную часть таблицы составляют сами характеры. Так, каждая строка содержит характеры неприводимого представления, а число строк говорит о том, сколько неприводимых представлений имеет данная точечная группа.
Чтобы пользоваться таблицами характеров, необходимо располагать некоторыми предварительными сведениями. Прежде всего имеются классы неприводимых представлений, к которым применимы три следующих правила:
1. Обычно операции симметрии одинакового типа принадлежат к одному классу (например, С3 и С3 или три вертикальные плоскости симметрии в точечной группе С3„.
2. Число неприводимых представлений группы равно числу классов в этой группе.
3. Характер любого неприводимого представления одинаков для всех операций в данном классе.
Проиллюстрируем эти правила на примере упомянутой таблицы характеров для группы С2(|. Все четыре элемента симметрии стоят здесь особняком, каждый из них образует собственный класс. Число неприводимых представлений точечной группы Си как раз равно четырем, что точно соответствует числу классов.
Табл. 4-4 содержит предварительную информацию, необходимую для составления таблицы характеров точечной группы С3„. Полный набор операций приводится в верхней строке. Ясно, что некоторые из них принадлежат к одному классу, поскольку число неприводимых представлений равно 3, а число операций составляет 6. При более внимательном рассмотрении этой таблицы становится заметно, что характеры всех неприводимых представлений (С3 и С3, а также а11, ст'„ и а^') равны. Действительно, обе операции вращения третьего порядка
204
Глава 4
Таблица 4-4. Предварительная таблица характеров для точечной группы С3„
Е С2 из
г, 1 1 2 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0
производят одинаковые изменения с молекулой аммиака, как это видно из рис. 4-9. То же самое справедливо и для трех вертикальных плоскостей симметрии; все они оставляют на месте один из атомов водорода, а два других меняют местами. Следовательно, С3 и С\ образуют один класс, а все три плоскости симметрии (а„, а'0 и а^')-другой класс. Таким образом, число классов в С3„ равно трем, что соответствует числу неприводимых представлений. В компактном виде таблица характеров для С3„ приведена в табл. 4-5.
Число операций в данном классе каждый раз обозначено в верхней
Рис. 4-9.
Операции поворота и отражения в плоскости симметрии для молекулы аммиака.
Полезный математический аппарат
205
Таблица 4-5. Компактная таблица характеров для точечной группы С3„
Е 2С3 За.
г, 1 1 1
1 1 -1
2 -1 0
строке таблицы характеров. Операция идентичности Е всегда сама является классом; то же справедливо для операции инверсии /.
Другой важной особенностью неприводимого представления является его размерность. Это просто размерность любой из его матриц, что в свою очередь равно числу строк или столбцов матрицы. Поскольку операция симметрии всегда оставляет молекулу неизменной, ее неприводимое представление-единичная матрица. Характер единичной матрицы равен числу ее строк или столбцов, как это показано ниже;
