Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
Пять правильных многогранников показаны на рис. 2-70, а их геометрические характеристики приведены в табл. 2-3. Вейль [10] считает, что существование тетраэдра, куба и октаэдра является весьма тривиальным геометрическим фактом. Однако он же подчеркивает, что открытие правильных додекаэдра и икосаэдра было, несомненно, «одним из наиболее выдающихся и прекрасных открытий, сделанных на протяжении всей истории математики». Но вопрос, кто первым построил правильные полиэдры, согласно Кокстеру [48], звучит приблизительно так: кто первым разжег огонь?
Многие простейшие организмы имеют форму пентагонального до-
* Это может вызвать удивление, так как число возможных правильных многоугольников весьма велико. Простое доказательство этого важного положения можно найти в упоминавшейся книге Л. В. Тарасова (см. примечание на с. 72).- Прим. персе.
мрч'іьіс и комбинированные типы симметрии
ADOO
оооо
Рис. 2-69.
Правильные многоугольники. Таблица 2-3. Характеристики правильных полиэдров
Рис. 2-70.
Пять Платоновых тел.
Название Число сто- Число гра- Число ребер, Число вер-рон в много- вей сходящихся в шин
угольнике вершине
Число ребер
Тетраэдр 3
Куб 4
Октаэдр 3
Додекаэдр 5
Икосаэдр 3
4
6 8 12 20
6 20 12
6 12 12 30 30
декаэдра. Позже будет показано, что кристаллы не могут обладать такой симметрией. Белов [49] предложил считать пентагональную симметрию простейших организмов формой их защиты от кристаллизации*. Некоторые примеры, взятые из книги Геккеля [15], показаны на рис. 2-71. Впечатление художника от пентагонального додекаэдра под выразительным названием «Кристаллический невольник» воспроизводится на рис. 2-72.
На рис. 2-73 показана модель Солнечной системы по Кеплеру, построенная на правильных полиэдрах. Согласно этой модели, наибольшее расстояние какой-либо планеты от Солнца находится в постоянном
* См. соответствующую цитату на с. 47.-Прим. перев.
6*
Рис. 2-71.
Радиолярии из книги Геккеля [15].
Рис. 2-72.
Художественное восприятие пентагонального додекаэдра. Хорст Янссен: «Кристаллический невольник». Воспроизводится с разрешения.
отношении к наименьшему расстоянию от Солнца следующей, более удаленной, планеты. Во времена Кеплера в Солнечной системе было известно шесть планет, и, чтобы описать их расстояния, необходимо было использовать пять отношений. Кеплер поместил правильные многогранники между соседними планетами таким образом, что наибольшее расстояние от Солнца внутренней планеты соответствовало сфере, вписанной в полиэдр, а наименьшее расстояние внешней планеты соответствовало сфере, описанной вокруг него.
Артур Кёстлер в книге «Лунатики» [51] назвал планетарную модель Кеплера его «самой заметной ошибкой». Однако эта планетарная модель, являющаяся в то же время моделью плотнейшей упаковки, символична в том смысле, что, вероятно, представляет наиболее удачную попытку Кеплера в достижении единого взгляда на астрономию и на то, что сегодня мы называем кристаллографией. Отношения расстояний планет от Солнца, измеренных Коперником, и отношения радиусов сфер, вписанных и описанных, применительно к данному полиэдру приведены в табл. 2-4, следуя Шнееру [52], цитирующего Кеплера [50].
Имеется несколько превосходных монографий, посвященных правильным фигурам; две из них [48, 53] заслуживают особого внимания.
Рис. 2-73.
Планетарная модель Кеплера, основанная на правильных полиэдрах [50].
86 Глава 2
Отношение радиуса вписанного шара к радиусу описанного шара (х 1000)
Отношение расстояния от внутренней планеты к расстоянию от внешней планеты (х 1000) по данным Коперника
Куб 577
Тетраэдр 333
Додекаэдр 795
Икосаэдр 795
Октаэдр 577
1000 Сатурн 572 Юпитер/Сатурн 290 Марс/Юпитер 658 Земля/Марс 719 Венера/Земля 500 Меркурий/Венера
Все платоновы тела высоко симметричны и поэтому имеют одну общую характеристику. Она состоит в том, что любая из осей симметрии не является единственной, а встречается несколько раз. Пять правильных полиэдров распадаются на три класса по признаку симметрии:
Тетраэдр 3/2 • т = 3/4
Куб и октаэдр 3/4- т = 6/4
Додекаэдр и 3/5 ¦ т =
икосаэдр =3/10
Для класса симметрии тетраэдра существуют два эквивалентных способа описания: 3/2 т или же 3/4\ Наклонная линия, связывающая две оси, показывает, что они не ортогональны. Символ 3/2 ¦ т обозначает две не ортогональные поворотные оси 3 и 2, а также включающую их плоскость симметрии. Эти три элемента симметрии показаны на рис. 2-74. Класс симметрии 3/2 ¦ т эквивалентен паре осей третьего порядка и четверной зеркально-поворотной оси. В обоих случаях тройные оси проходят через вершину тетраэдра и центр его противоположной грани. Четверные зеркально-поворотные оси совпадают с осями второго порядка. Наличие четверной зеркально-поворотной оси хорошо видно, если тетраэдр повернуть на 90° относительно оси второго порядка, а затем отразить в плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, операции симметрии, выбранные в качестве основных, порождают остальные элементы симметрии. Это доказывает эквивалентность обоих описаний.
