Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
2.5. Особая точка и трансляционная симметрия
Центр квадрата-это единственная в своем роде точка, не имеющая себе эквивалента. Такая точка называется особой (сингулярной) точкой. Угловая точка (вершина) того же самого квадрата уже не является особой, так как операция симметрии воспроизводит ее, и в целом имеются четыре эквивалентных угла в квадрате.
На рис. 2-49 показан цилиндр. Его центр-особая точка, а все остальные точки, лежащие на оси вращения бесконечного порядка, не отличаются единственностью. Плоскость симметрии, перпендикулярная оси вращения, удваивает все точки, лежащие на оси, за исключением ее центра.
Если в квадрате произвольно выбрать одну точку, то у нее будет 7 эквивалентных партнеров вследствие операций симметрии, проделанных с квадратом и показанных на рис. 2-50. В целом окажется 8 эквивалентных точек. Если же выбранная точка совпадает с одной из вершин квадрата, то число эквивалентных позиций равно четырем. Ход рассуждений не меняется, если выбранная точка попадает на одну из осей симметрии квадрата. Кратность угловой точки в квадрате, а также любой точки, лежащей на оси симметрии, равна двум. Произведение числа эквивалентных точек и их кратности постоянно (например, для квадрата оно равно 8). Наконец, если выбранная точка совпадает с центром квадрата, то число эквивалентных позиций равно единице, а кратность - восьми.
В асимметричной фигуре каждая точка является особой с кратностью, равной единице.
Классы симметрии, характеризующие геометрические фигуры или предметы, которые имеют хотя бы одну особую точку, называются
Рис. 2-49.
Центр цилиндра является особой точкой.
Простые и комбинированные типы симметрии
61
Рис. 2-50.
Особая точка и кратность точек в квадрате.
точечными группами. Точечная группа рисунка Эшера, воспроизводимого на рис. 2-51, я, соответствует классу симметрии 3-т. На рисунке изображены ангелы и летучие мыши, размеры которых постепенно меняются. В центре находится особая точка. Другая работа Эшера показана на рис. 2-51,6. На нем тоже изображены ангелы и летучие мыши, но размеры их одинаковы. Если допустить, что этот фрагмент является только частью бесконечно продолжающегося рисунка, то на нем нет особой точки. Допущение о бесконечной длине рисунка выглядит достаточно естественным ввиду его периодичности. В отличие от этого предыдущий рисунок ограничен окружностью. Отсутствие особой точки приводит к закономерности, выражающейся в бесконечной повторяемости, которая характерна для трансляционной симметрии. Данный вид симметрии не совместим с существованием особой точки, но уживается с наличием особой линии или плоскости. Классы симметрии, характеризующие системы с трансляционной симметрией, называются пространственными группами. Одномерные пространственные группы описывают симметрию, включающую бесконечное повторение или периодичность в одном направлении; для описания периодичности в двух и трех направлениях существуют дву- и трехмерные пространственные группы. Рис. 2-52 и табл. 2-2 суммируют случаи, возникающие при рассмотрении размерности пространства и периодичности. Используемая здесь номенклатура несколько несогласованна и напоминает классическое произведение Эбботта «Флатландия» [29].
б
Рис. 2-51.
o-M. Эшер: «Круговой предел IV». Collection Haags Gemeentemuseum-The Hague. Воспроизводится с разрешения. © MC. Escher Heirs с/о Cordon Art-Baarn-Holland; 6-М. Эшер: «Ангелы и летучие мыши» [28]. Воспроизводится с разрешения Международного союза кристаллографов.
Простые и комбинированные типы симметрии
пЗ
пш-
Рис. 2-52.
Размерность и периодичность в точечных и пространственных группах. Этот рисунок соответствует табл. 2-2.
а- Пойнтландия; б- Лайнландия; в -Флатландия; г -Спейсландия.
Таблица 2-2. Размерность (т) и периодичность («) группы симметрии G™ по Энгельгардту [30]
Периодичность -Размерность I
т = 0
Безразмерный т = 1
Одномерный т = 2
Двумерный т = 3
Трехмерный
(нет периодичности)
G°o Gh Go G?
л = 1 n = 2 n = 3
(периодичность (периодич- (периодич-
в одном направ- ность в двух ность в трех
лении) направлениях) направлениях)
Gl Gi
Gi Gl Gi
Gl Gl
2.6. Полярность
Прямая линия считается полярной, если есть возможность различить ее два направления; плоскость также полярна, если две ее поверхности неэквивалентны. Разумеется, такое определение полярности не имеет
64
["лава 2
ничего общего с разделением противоположных электрических зарядов. Полярная линия имеет «голову» и «хвост», а полярная плоскость -«лицевую» и «оборотную» стороны. Так, вертикальная линия по отношению к поверхности Земли полярна, если учитывать направление силы тяготения, а лист бумаги, окрашенный с одной стороны, полярен по отношению к цвету.
Ось полярна, если два ее конца не совпадают в результате преобразований симметрии, свойственных группе симметрии данной фигуры. Аналогичное определение применимо к двум сторонам полярной плоскости.
Если группа симметрии включает центр симметрии, то полярность исключается. Как было уже показано (см., например, рис. 2-47), в центросимметричной фигуре направленная линия или направленная часть грани меняет свое направление при инверсии. Если же центр симметрии отсутствует, то по крайней мере одна направленная линия или грань не смогут иметь своих партнеров с противоположным направлением.
