Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
Характерные элементы симметрии куба показаны на рис. 2-74. Через центр куба, параллельно его граням, проходят три различные плоскости симметрии. Кроме того, шесть плоскостей симметрии включают ребра на противоположных концах фигуры, диагонально рассекая ее грани. Четверные оси соединяют середины противоположных граней. Шестерные зеркально-поворотные оси совпадают с осями 3. Они соединяют противоположные вершины и направлены вдоль диагоналей куба. Символ 6/4 непосредственно не означает наличия плоскостей симметрии,
Прооые и комбинированные типы симметрии
N7
Рис. 2-74.
Характерные элементы симметрии Платоновых тел.
соединяющих середины противоположных ребер, оси второго порядка и центра симметрии. Все упомянутые элементы порождены другими. Так, наличие центра симметрии у куба вытекает из того, что каждая грань и каждое ребро имеют своего собственного партнера, ориентированного параллельно. В отличие от этого тетраэдр не имеет центра симметрии.
Октаэдр находится в том же классе симметрии, что и куб. Наиболее заметна антипараллельная ориентация его граней. На рис. 2-74 показано, что его оси 4 проходят через противоположные вершины, оси 3-через центры граней, а оси 2-через середины ребер.
Пентагональный додекаэдр и икосаэдр принадлежат к одному классу симметрии. Оси 5, 3 и 2 пересекают центры граней, вершины и ребра додекаэдра соответственно (рис. 2-74). Для икосаэдра соответствующие оси пересекают вершины, центры граней и середины ребер (рис. 2-74).
Таблица 2-4. Соотношения Кеплера (согласно Шнееру [52])
мм
Следовательно, в пяти правильных полиэдрах прослеживается дуалистическая связь, если рассматривать их грани и вершины. Тетраэдр дуалистичен сам по себе* (табл. 2-3).
Если определение правильных многогранников не ограничивать выпуклыми фигурами, то их число возрастет с пяти до девяти. Дополнительные четыре фигуры показаны на рис. 2-75, а подробные сведения об этом можно найти, например, в книгах [48, 53]. Их общее название-звездчатые многогранники.
Шар заслуживает того, чтобы о нем упомянуть. Это одна из наиболее простых возможных фигур и в то же время это фигура с высокой и сложной симметрией. Шар имеет бесконечное число поворотных осей бесконечного порядка. Все они совпадают с диагоналями этой фигуры, проходящими через ее центр. Этот геометрический центр, являющийся особой точкой, есть также центр симметрии. Для описания фигуры в качестве основных элементов симметрии можно выбрать следующие: две неперпендикулярные друг другу оси бесконечного порядка и одну плоскость симметрии. Следовательно, класс симметрии шара обозначается как оо/оо-и. Касаясь симметрии шара, Кепес [54] цитирует Коперника: «... из всех существующих форм сферическая наиболее совершенна и не нуждается в пояснении; шар имеет максимально возможный объем и наиболее подходит в качестве фигуры, вписывающей в себя все остальное; все изолированные части Вселенной-я имею в виду Солнце, Луну и звезды-шарообразны согласно наблю-
Рие. 2-75.
Четыре правильных звездчатых полиэдра.
* Возможно, отмеченный дуализм станет яснее, если ввести понятие взаимности полиэдров, которое поясним на примере куба и октаэдра. Если в одном из этих многогранников соединить прямыми линиями центры соседних граней, то в результате получается второй многогранник. Взаимность додекаэдра и икосаэдра менее очевидна, но она существует. Если же указанную операцию проделать с тетраэдром, то получится тоже тетраэдр.- Прим. перев.
дениям; все тела, которые могут оформить себя сами, стремятся быть шарообразными, как это видно по каплям воды или других жидкостей. Таким образом, не нужно сомневаться, что сферическая форма-это лучшее, что есть в мире, и что эта форма божественна».
Кроме правильных многогранников имеются еще различные семейства полиэдров с убывающей степенью регулярности [48, 53, 55]. Так называемые полуправильные, или архимедовы, многогранники подобны Платоновым телам в том отношении, что все их грани-правильные многоугольники, а все их вершины совместимы. Однако не все многоугольники, образующие их грани, одинаковы. Тринадцать подобных многогранников перечислены в табл. 2-5, а некоторые из них показаны на рис. 2-76. В табл. 2-5 также приводятся их поворотные оси.
Простейшие полуправильные полиэдры получаются из правильных путем симметричного усечения их вершин. Таковы усеченные правильные многогранники, помеченные в табл. 2-5 верхним индексом «а». Два из полуправильных многогранников занимают особое место и называются квазирегулярными; они помечены в табл. 2-5 верхним индексом «б». Оба многогранника имеют два вида граней, и каждая грань одного вида целиком окружена гранями другого вида. Остающиеся шесть многогранников могут быть выведены из предыдущих случаев.
Важными полиэдрическими семействами считаются призмы и антипризмы. Призма построена из двух одинаковых и параллельных граней, соединенных друг с другом параллелограммами. Антипризма также имеет две одинаковые и параллельные грани, но они соединены с помощью треугольников. Существует бесконечное число призм и антипризм; некоторые из них показаны на рис. 2-77. Призма или антипризма является полуправильным полиэдром, если все ее грани-правильные многоугольники. Куб можно считать квадратной призмой, а октаэдр - треугольной антипризмой.
