Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
а) Плоские фронты перехода. Переход между состояниями Ч'± может быть плоской волной. Рассмотрим решение уравнения (10.97) в виде плоской волны:
Ч' = х(ф), 4> = n-r — vt (10.99)
->
где V — скорость распространения, а п — единичный вектор в направлении распространения. Подставляя (10.99) в (10.97), получаем
AnZ" + "z' + YiZ + ВХ2 + Л%3 = 0 (10.100)
где «'» = d/dif. Однако уравнение (10.100) имеет известное аналитическое решение
Z (ф) = 1I'- + 0П - Ч'-) (1 + ер»)-' (10.101)
P = (Yi/2-\„)"20Fl-4'*+) (10.102)
- V = Мп/2)"2 of; - v.) (ю.юз)
Это нетривиальный результат. В критической области характер распространения волн одинаков для всех систем со многими стационарными состояниями независимо от деталей химического механизма, т. е. имеет место универсальность.
б) Сосуществование. Сосуществование можно определить как ситуацию, в которой два различных состояния системы реализуются в смежных областях пространства. Рассмотрим, например, систему, одна половина которой приведена в состояние Ч'+. а другая —в состояние Ч7І. Тогда, если Y+ и Ч'1 сосуществуют, разделяющий их переходный слон не движется. Таким образом, очевидно, что условием сосуществования является обращение в нуль скорости распространения фронта: v = 0. Следовательно, из (10.103) вытекает, что сосуществование имеет место прн В = 0. Более явно, при сосуществовании
E(I |а2Ч(/<ЭЧ',<ЭЧ'4|1>,|1>* = 0 (Ю.104)
ваиние ниц/им,, ^j".------- .
которых систем, достаточно далеких от критической точкп. Бы-то нантено, например, что некоторые системы с несколькими 'стационарными состояниями при одних и тех же условиях могут в зависимости от профиля поверхности раздела допускать распространение одного из стационарных состояний в область другого. Это явление было названо множественностью фронтов
10.5.3. Другие классы универсальности при бифуркациях с вещественным собственным значением
10.5.3.1. Разрушение простой одномодовой картины. Простая од-номодовая картина критической динамики может разрушаться из-за множества различных причин. Главный критерий применимости теории масштабных преобразований для описання критической динамики состоит в том, чтобы решения (и их производные) уравнений движения оставались ограниченными, если они были ограниченными исходно. Однако это не так, если коэффициент диффузии критической моды Дп отрицателен или если положителен кубический член в динамическом уравнении. Еще одни способ разрушения простой одномодовой динамики — присутствие других медленных мод. Здесь эти возможности будут рассмотрены вкратце. Им соответствуют весьма интересные уравнения химических волн, заслуживающие дальнейшего исследования.
10.5.3.2. Отрицательный коэффициент диффузии критической моды. Здесь, как и ранее, целью масштабных преобразований является такое масштабирование дестабилизирующих членов, которое выявляет достаточно сильное взаимодействие нелинейных н других членов, способных стабилизировать неустойчп-
вость, її приводит к нетривиальному устойчивому поведению. В дополнение к соотношениям (10.91) введем преобразование
^.'оТ-"о\- НетРнвиалЬ1юе поведение возникает при 2т = — а — id — п = q = 4. Опуская индекс 1 н знак «~», находим
дЧ'Іді = р (V2)2 Ч' + (An + аЧ') V2H' + ). | VV P + Y4' + ВЧ'2 + ЛЧ'3
(10.105)
[743].
яются, а остальные члены дачи с отрицательным копри отрицательном В. Не-
z
Q
о
Рис. 10.14. Обратное время нарастания возмущения г, полученное в результате линейного анализа устойчивости однородного стационарного состояния.
Этот тип неустойчивости приводит к образованию структур, вид которых определяется внешними условиями. Когда в такой системе меняется некоторый параметр, первая возникающая структура имеет характерный размер, связанный с размером системы, и не опре" деляется диффузионной длиной. При закрнтнческой величине упомянутого параметра представленная зависимость имеет максимум при некотором значении волнового вектора &с. Следовательно, моды возмущений, имеющие волновой вектор Ас, нарастают быстрее всех остальных.
сколько неожиданная пространственная производная четвертого порядка возникает вследствие перекрестной диффузии критической моды и быстрых мод Ч'/>э.
Профиль волны перехода между двумя устойчивыми стационарными состояниями, бегущей со скоростью с, можно, таким образом, найти как решение уравнения + (A11 +a4')Y"4-
+W2 +¦ oV'+yY+BY2 -f ЛЧг3=0. Полный анализ существования ц единственности илн множественности решений, соединяющих два устойчивых стационарных состояния, до сих пор не выполнен, и его еще предстоит провести.
Подобные системы с отрицательным коэффициентом диффузии могут иметь также и другие типы решении. На рис. 10.14 представлен результат линейного анализа устойчивости^ однородного стационарного состояния Yi = 0. Зависимость собственного значения z (возмущения однородного состояния эволюционируют как е") от k имеет вид
причем z имеет максимум при R1 (dz/dk2 = 0 при А,), равном
z (к2) = у
(10.106)
(10.107)
Поэтому следует ожидать, что при z (к2)> о .чиже, возникнуть структура с длиной волны 2лД\, Эта тенденция к образованию
