Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
с = о/3"2
« = (l/2){3[th(th~'(I/3)-s/2)]2-l}, s<0 (10.72)
Типичный профиль волны Марри — Стефана показан на рнс. 10.13.
10.4.2.4. Замечание. Математическая структура представленной задачи Стефана такова, что положение поверхности задается неявно: посредством условия баланса перекрестных потоков (10.71). Как мы сейчас покажем, это только одна из возможных структур, к которой может приводить задача Стефана.
10.4.3. Задача Стефана с явным динамическим уравнением для реакционной зоны
10.4.3.1. Модель реакции в потоке черен пористую среду. Рассмотрим пористую среду, содержащую неподвижный реагент P и мобильное соединение X. Тогда, если через систему проходит
поток со скоростью V, имеем
дХ/д/ = V ¦ [DVX - Xv] - mG/e (10.73)
dP/dt = — nG/e U0-74)
гче G- скорость реакции. Введем параметр г, чтобы подчеркнуть тот факт, что мы хотим узнать, как ведет себя система, когда реакция является быстрой (т. е. в < 1).
На первый взгляд можно ожидать, что эта система будет аналогична модели Маррп, поскольку соединение X, поступающее в область, где концентрация P велика, будет уничтожаться в предполагаемой феноменологической реакции
О/є
шЛ' + иР -*¦ продукты (10.75)
Следовательно, должна существовать граница, на которой при f _>-0 компонент А' исчезает. Это действительно имеет место. Однако будет показано, что, поскольку реагент P ие диффундирует, его концентрация иа границе уменьшается до нуля скачком. В этом состоит отличие от модели Марри.
10.4.3.2. Задача Стефана. Первый шаг к формулировке задачи Стефана состоит в исследовании поведения G(P, X). Будем считать, что G(P, X) стремится к нулю, когда P пли X стремятся к нулю. Следовательно, при е—>-0 все пространство разделяется па область типа I, где X = O, и на область типа II, где
Р = 0, как її для модели Маррп. Опять назовем поверхностью
-> ->
реакции набор точек г, таких, где S (г, I) обращается в пуль. Чтобы получить уравнения движения в различных областях, исключим G из (10.73) и (10.74). Это дает
(л/т) [дХ/dt + V • (Xv - DVX)] = dP/dt (10.76)
Таким образом, в области 1 дР/dt = 0 и, следовательно,
P = Po(r), X = O (область I) (10.77)
Здесь P0(г) — начальное распределение Р: Ph, O) = Pn (г) Аналогично в области II имеем
dXldl = v.[DVX-xZ], P = O (область II) (10.78)
Краевое условие для этого уравнения па граничной поверхности S (г, I) = O имеет вид
х(г, 0 = 0 (10.79)
нсч1неЯшГя0,Р^°ШШ П0Стаи0ВК11 заДачи мы должны иметь урав-о ті \ьГм ' , ,У'0ЩЄЄ гРа1,ич»У» поверхность. В противополож-'°vего с пошм У ВЫШ>ЛУ М0ЛЄЛИ М*РР"-Стефана мы нолу-Г-свдо^ьТптп<ННТУ"Т11В,,ЫХ РассУж^»"й [35-37]. Пусть Возьмем SъоР T;«ия границы по нормали к поверхности.
озьмем S > 0, S < 0 в областях 1/11. Единичный вектор пор-«али дается выражением „=VS/|vS|. Точка поверхности г в
момент / [н которой^(г, І) = 0] через малый интервал времени 67 перейдет в точку г + ипЫ[ следовательно, S (г + untti, I + 6(W = 0]. Разлагая последнее уравнение до первого порядка по 6( н принимая во внимание то, что Ы мало и произвольно' получим
ClSIdI + HlV-SI = O _ (10.8'л
Мы видим, что скорость движения задается потоком компонента Х^по нормали к S следующим образом. За время Ы количество п ¦ (vX — DyX) 616А (в молях) компонента X пройдет через элемент оЛ (где п — нормаль к 6A). Если ЬА — элемент границы, то вследствие этого потребуется (п/т)ЬАиЫР0 реагент:: Р. Поэтому, так как X обращается ц нуль на границе, имеем
и = —(тп- DvX)JnP0 (10.81)
Из этого следует, что, когда один из реагентов двухкомнонент-ной модели неподвижен, неявное уравнение (10.69) заменяется более явными уравнениями эволюции поверхности (10.80) н (10.81). Наконец, скачки на медленных многообразиях, обсуждавшиеся в разд. 10.2, можно классифицировать как явную задачу Стефана того же типа [159].
10.4.4. Устойчивость волнового фронта
Приведенное описание химических волн с помощью модели с движущейся границей приводит к ряду аналитически разрешимых моделей для случая плоских волн. Возникает вопрос об устойчивости этих волн. Вообще, линейный анализ устойчивости в данном случае имеет ту интересную особенность, что устойчивость системы должна проверяться по отношению к форме н положению граничной поверхности реакции S = O. Методы и примеры такого анализа рассмотрены в работах [156, 159].
10.5. Универсальное поведение вблизи критической точки
10.5.1. Волны вблизи неравновесной критической точки
Известно, что поведение равновесных систем вблизи критических условий универсально. Таким образом, столь различные явления, как переходы в ферромагнетике и переходы жидкость—гач, описываются вблизи критической точки универсальной функциональной формой (уравнением состояния). Похожая ситуация существует вблизи многих неравновесных критических точек, где новые состояния возникают в результате бифуркаций состоянии
на равновесной ветви, по мере того как система смещается в CTODOIiV от положення равновесия.
Действительно, имеется полная аналогии между равновесными и неравновесными фазовыми переходами, и равновесная теория в значительной степени определила направление исследований неравновесных явлений. Ключевым моментом явилось нежньзованне метода масштабных преобразовании (скеилннга) дія иссісдовання поведения системы вблизи неравновесной критической точкп. Прн замене переменных, позволяющей нормировать все веліп.....ы па отклонение одного из системных параметров от его критического значения, взятое в подходящей степени, теория предсказывает положение критической точкп, универсальную форму неравновесного аналога уравнения состояния н краппе интересную эволюцию во времени системы вблизи критической точки. В этом разделе мы применяем скейлинг для изучения химических волн (см. работы [223, 699, 701] п имеющиеся в них ссылки).
