Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
X(O1I) = X0, S (г, O) = S0 (10.141)
Величины скорости фильтрующегося потока у, концентрации X и S связаны системой уравнений
дХ/ді = D (д3Х/дг) - v (дХ/дг) - m\V, dS/dt = - uW
(10.142, 10.143)
Отметим, что, так как твердое вещество S пе движется, в уравнениях отсутствует член переноса для S
Интуитивно можно ожидать, что для потока, движущегося вправо со скоростью v > 0, решение системы (10.142)-(10.143) при граничных и начальных условиях (10.141) будет представлять собой волновой фронт, состоящий нз монотонно изменяющихся распределений А' (уменьшающегося вправо) п S (уменьшающегося влево). Руководствуясь таким предположением, справедливым, очевидно, только для точек, далеких от исходной границы (г = 0), будем искать решения уравнений (10.142) и (10.143) в виде X(r — ct), S(r — ct), а границу отодвинем в —оо, так что X-* X0 при г^—со и S--S0 при г-»-со. Полагая Ч — r — ct п обозначая штрихом производную d/ckp, получим
DX" + (с - V) X' - mW = 0, cS'-nlV = 0 (10.144, 10.145) Интересно, что для этой и более сложных систем, имеющих несколько компонентов типа X, несколько-типа S и характерп-чі^,™ 00'1ЄЄ сл°*"°й картиной потоков, скорость с можно вычислить точно [35-37J. Исключая W нз (10.144) и (10.145),
[DX' + (с — V) X — (mc/п) S]' = 0 (10.146)
ния ™'о™ ВмЛ,1ЧШ'« В СК°бках является "чтегралом движе-+In оо П„пп? Ь °Кеиеиа 1,3 граничных условий при
граТищах, дает Р РаВ""ВаШ,С 3,,аче«»в. полученных на разных
с = W(nXa+ ,US11)} V (10.147)
Разнообразие н свойства химических волн
----¦------.____409
Легко видеть, что эта волна совершенно непохожа на химиче ские волны, описанные в предыдущих разделах. Здесь скорость распространения с зависит лишь от стехиометрии и не зависит от фактической скорости процесса W и коэффициентов диффузии. ^ Профили распределений как X, так и S могут быть определены из одного уравнения. Условие сохранения (10.146) можно использовать, чтобы исключить 5: 5 = S0 + (n/mc)DX'-f (с — — v)X. Тогда, полагая W = W(S,X), имеем
DX" + (с - v)X - mW[S0 + (n/m^DX' + (с- v)X, X] = O (10.148)
Весьма интересен анализ этого уравнения на фазовой плоскости X, X'. Он применялся для того, чтобы показать существование и единственность решения в виде фронта волны [36].
10.7.3. Деселероны и отложения
Перепады концентраций, движущиеся в потоке с постоянной скоростью, могут образовываться не при всяком химическом
взаимодействии. Возьмем следующую схему с двумя минералами:
X+ A = Y (10.149)
X + B = z (10.150)
Окислитель X извлекает YuZ из минералов А и В. В ситуации, когда входные значения переменных X, Y и Z фиксированы, а значения YnZ ниже их равновесных величин (зависящих от X), поток переносит фронты как одной, так и другой реакции вправо.
В этой задаче можно было бы ожидать, что монотонный профиль распределения X продвигается в глубь породы, в то время как монотонные фронты AwB отступают, причем все профили движутся с постоянной скоростью. Имея в виду такое предположение, можно попытаться воспроизвести выкладки, пР°Д^ан""е в предыдущем разделе для простой модели, и выч"спли7„ь^х Рость распространения. Расчеты (детали приведены ^ работах 135, 361) показывают, что, если только параметры модели не Удовлетворяют весьма специфическим ограничениям 1>е.ше> , отвечающего распространению с постоянной скоростью, не у
СТВует г г г
n На'рис. 10.16 мы видим пример того, что ипю
По мере продвижения профиля X в глубь системы в за
"и от условий либо А, либо В аккумулируется н граш
^ла. При этом фронт замедляется (так>'ю °°™ает в осадок.
Звать «деселероном») и один из минералов выпадает
А
Рис. 10.16. Профили концентраций минералов Л и В для процессов X + Л =г=^- У и А' + В г,
в которых участвуют подвижные
компоненты X, У, Z.
О
Воды, богатые компонентом X и бедные компонентами У. Z. втекают слева, растворяя минералы. Так как н данном случае пе существует решения реакционно, транспортных уравнении п пнде равномерно движущегося фронта, то минерал В. исходно распределенный равномерно и' гораздо менее концентямфопаннын, чем А, начинает аккумулпронаться на фронте .4.
Пространственная координата
Это одни из основных механизмов образования промышленных залежей некоторых минералов.
10.7.4. Однопараметрические семейства редокс-фронтов
Когда поступающие воды находятся в равновесии с минералами, образованными при взаимодействии этих вод с породами, могут существовать семейства равномерно движущихся фронтов. Это представляет резкий контраст с предыдущим примером, в котором не существует решений в виде движущихся фронтов. Хороший пример, имеющий практическое значение, — это окисление пирита її сопутствующее ему отложение гетпта. Сильно упрощенная модель системы пирит—гетпт такова (см. [35—37]):
Здесь P и G— минералы, F — двухвалентное железо, a T — тиосульфат. Если поступающие воды находятся в равновесии с гетитом, что с геологической точки зрения представляется разумным, то легко видеть, что, какое бы количество гетита пи оставалось позади редокс-фронта, оно будет совместимо с химическим процессом. Поэтому, если мы предположим, что равномерно движущиеся фронты существуют, и используем законы сохранения, как в случае простой модели, получим, что скорость фронта является функцией фактически произвольного количества гетита, остающегося позади фронта.
