Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
10.4.2.2. Формулировка задачи Стефана. Чтобы полностью сформулировать задачу Стефана для данной системы мы юлжны получить уравнения для и и v в областях где они те нечезающе малы, и уравнение для локализации'границы. Исключая из модели Марри член uv/ь- получаем
du/dt - V'U ~u(l~u) = (Xjn) [{dv/dl) _ 0V2V] (U) 58)
Обозначим через I область, где и = 0, а через Il область, гді и = 0. Тогда имеем
du/dt = V2u +и(1 — и), v = 0 (область 1) (10.59)
<9и/Л = Dv2U, и = 0 (область II) (10.60)
Поверхность раздела областей I и II определим с помощью
уравнения S (г, t) = 0. Для того чтобы завершить построение теории, мы должны исследовать поведение системы вблизи этой
поверхности и получить уравнение эволюции5 (г, t). Пусть T0-
— данная точка на S, т. е. S (г0, /) = 0. Введем локальную систему координат, такую, что направление х будет перпендикулярно S, а направления у, z параллельны S. Ограничимся простейшим случаем, когда поверхность границы гладкая при е-»-0. (Если анализ устойчивости формы поверхности укажет, что эта поверхность неустойчива при очень коротких длинах волн, то данное предположение должно быть пересмотрено.) Так как при е—>-0 быстрая реакция приводит систему на многообразие UV = 0, то мы ожидаем, что при малых є реакция поддерживается в очень топком слое вблизи S = O. Чтобы исследовать эту реакционную зону, совместим начало координат с поверхностью и затем перенормируем х посредством jc = e11'* где pi > 0 подлежит определению. Аналогично можно ожидать, что по крайней мере один из компонентов и или v мал вблизи S = O при е-»-0, н поэтому будем считать м = ^11?, V = =e^v, ц2, Цз > 0- При такой нормировке диффузионный транспорт в направлении осп х и быстрые реакции будут сбалансированы при соблюдении следующих нормировочных соотношений:
р2 = р3, 2ц,+ р2=1 (10.61)
Эволюция в зоне реакции дается уравнениями
д2й/дх2-,15 = 0, (DIa) (дЧ'/дх2) - US = 0 (10.62, 10.63)
Взяв разность этих уравнений, получим
д2 [й — (Dfa) S]jdx2 = 0 (10.64)
и. следовательно, при постоянных KuQ имеем
й- (Dja) V= Kx A-Q (10.65)
Распределение в зоне реакции должно как-то сопрягаться с областями 1 п П. Пусть х > 0 в области II. Тогда при больших х переменная (7 должна стремиться к пулю н б « —(a/D) (Kx + + Q). Если V достигает некоторого ненулевого значення, когда мы приближаемся к зоне реакции (в пределе е->-0), то мы должны иметь К = 0. Поэтому при выборе цз = 0 имеем
Глава 10. //. О/помпа, С. Ul.vuOr
v = -(DQ/u) при больших х. Далее, исключая и с помощью (10.65). из (10.62) получаем
fflu/dx2 - (alD) U(U-Q) = O (10.66)
Естті Ma = 0 т0 мы Д°ЛЖ|1Ы «сшить» внутреннее решение и с внешним решением й. Но уравнение (10.66) не имеет ограниченных решений, соединяющих 0 и константу для х в интервале (—со, оо). Таким образом, мы вынуждены предположить, что но ([[,'следовательно, ц3) строго положительно. Имеем
K = C = O на S = O (10.67)
Другой возможный способ сопряжения состоит в том, что производные внутреннего решения (й, v) по X должны «сшиваться» с нормальными производными и и у.
ди/дх ~ е*'~* (дй/дх) для .«^0, х->— оо (10.68)
Это подразумевает, что ди/дх — бесконечность или нуль на границе раздела для Ц] > ^2 или P1 < р2 соответственно. То же подразумевается для v. Эти условия наряду с и = о = 0 на S, будучи наложенными иа уравнения (10.59) и (10.60), дают переопределенную задачу. Поэтому мы вынуждены принять pi = = Р2 = Рз н, таким образом, получаем р., = 1/3, ('= 1, 2, 3 из (10.61). Наконец, комбинируя уравнения (10.61) с (10.68) и с аналогичным уравнением для v, мы получаем требуемое дополнительное условие, фиксирующее положение границы раздела, а именно
-VS ¦ Vh I11- = (DIa)VS ¦ Vo I0+ (10.69)
где мы использовали условие S > О, S < 0 соответственно в областях II и I, а также тот факт, что д/дх = | VS Г' VS • V* Обозначение 0і подразумевает оценку прямо внутри областей II или 1 соответственно, т. е. S = O-, где 0± —положительная или отрицательная бесконечно малая величина.
10.4.2.3. Плоские волны. Задача Марри дает решения в виде плоской волны. Предположим, что распространение происходит вдоль осп х со скоростью с. Тогда, считая, что обдасть II расположена справа, введем u = u(s), v = v(s), s = x — cl. В этом случае решением уравнения (10.59) будет просто [1— — ехр(—cs/D)}, s > 0. Таким образом, уравнение (10.69) приобретает вид
(dulds)(0-) = -cla (10.70)
В области 1 и является решением задачи, подобной задаче Фишера:
Ci2Ul(Is1 + c(du/ds) + и (1 — н) = 0, s<0 (10.71)
Рнс. 10.13. Профиль нормированных концентраций или в волне Марри— Стефана [860].
за исключением того, что область — это полупрямая, а граничными условиями являются уравнение (10.70) и ы(0)=0. Эту задачу можно решить численно методом пристрелки, подбирая с ч обеспечивая выполнение условия р = ди/ds = 0 при и = 1 и соотношения (10.71) при и = 0. Численное интегрирование уравнения dpfdu = —с-х-и(и—I)//? от 1/ = 0 до и = 1 продолжается до тех пор, пока процесс не сходится к достаточно точному значению с. Для малых а находим
