Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
10.3.2.2. Многомасштабная теория. Рассмотрим вектор концентрации компонентов С с матрицей коэффициентов диффузии DD и скоростями реакций ?-'R(C). Возьмем период цикла в качестве единицы измерения времени (Tt) (селн t изменилось па 1, это означает, что в реальных единицах прошло время Л. 1 Іолучим 1 '
ас/а/ = е Dv2C + R(C) (ю.2б)
"!'""Рапственные координаты Lr измеряются в единицах характерной длины l. Исследуем поведение системы для ма-
лых е. Предположим, что при е = 0 уравнения имеют решения отвечающие предельному циклу, т. е. будем считать, что
Hm С = Ў(/ + ,,) ' (1027)
где ср —фаза колебаний и периодическая функция У удовлетворяет уравнению
4ЎAa=ROP) (10.28)
Мы ищем самосогласованное уравнение для фазы tp, которая, как мы ожидаем, должна дрейфовать пз-за малого диффузионного члена eDV2C.
Мощный метод анализа процессов, имеющих широкий диапазон характерных времен эволюции, состоит во введении ряда временных масштабов. Введем последовательность времен t„, такую, что
tn = e"t л = 0, 1, 2, ... (10.29)
Мы считаем, что концентрации зависят от всех этих времен; разложим С в ряд по степеням є:
C=E C,„(r, t0, h, ...)em (10.30)
Подставим это разложение в уравнение движения, записанное в виде
[д/dto + eid/dtj)+ ...]C = eDv2C + R(C) (10.31)
н последовательно рассмотрим результаты по мере увеличения порядка приближения.
Уравнение минимального порядка дает (ЗСо/(?ґ0 = R(C0). Следовательно,
C0 = Г (t0 + ф) (10.32)
где фаза ф — искомая функция г и медленных времен, т. е.
Ф = ф(г>; U, t,, ...) (Ю.ЗЗ)
В первом порядке по е имеем [3IdI0 - Q] C1 = - (дС0/д/0) (дфП) + О [(3C0IdI0) V2V +
+ (<5-С0/*02)|Уф|2] (Ю.34)
где Q = dR/dC для C = V. Уравнение (10.34) определяет эа-висимост, C1 отТнрн условии, что правая часть параметризована Г п медленными временами U Для было разрешимым относительно С,, правые часпін д содержать ..„какой функции, которую оператор CWAW0 обращал бы в нуль.
Умовне, гарантирующее, что такой функции не содержится, пет уравнение, определяющее зависимость ср от г и /,. Следует ожіпать, что функция, которую б обращает в нуль, существует. Одной такой функцией является dY/Ло, что легко можно проверить взяв производную d/dh от уравнения (10.28).
Эта' функция существует и единственна для устойчивого предельного цикла, так как она соответствует границе устойчивости предельного цикла по отношению к возмущениям, сдвигающим фазу колебаний. Для данной задачи гарантировано также, что, поскольку б имеет пулевую функцию дЧГ/dto, то же самое относится и к транспонированному оператору бг = — д/д!0 + Qr. Здесь Q^j = Q1I и Cf определяется как оператор, такой, что для любых двух 1-периодических функций g и /і выполняется равенство
і і
5 8 (У б (k) И O0) dt0 = \ [От (f0) g (U)] Ii (/„) dt0 (10.35)
о о
(Напомним, что однородный предельный цикл имеет период 1 в выбранных нами единицах времени.) Полагая [ такой, что О'/" = 0, получаем требуемое уравнение для ср
дф!, = ?>pv2cp -f A]vq> P (10.36)
умножением уравнения (10.34) па f и интегрированием обеих частей по t0 от 0 до 1.
Параметры D1, п Д определяются соотношением
{0Д } = і[°{іг}(аСо/а'о) ДЛЯ І KdC0IdI0) CIt0^ \ (10.37)
10.3.2.3. Перенормировка частоты и стационарное распространение волн. Нелинейное уравнение для фазы (10.36) содержит интересную информацию о распространении волн. Например, оно дает решение вида
ф = VZ1-T-A* (10.38)
причем в пространстве одного измерения
V=AA2 (10 391
13 этом случае имеем 1 ' J
С(х, O = Y(O +еДА2)t + kx) OMIT)
ьо™ны07а7-°В1е,ЛЫ,ОСТЬ волн С пеР"°Д°" (1 +^2)-' и длиной волны IА бегущая в направлении +х при А < О Отметим
cZcTї&Гт „Г ,ЫВаеТ СДВНГ («переиор'мировку») частоты, смысл этой перенормировки зависит от знака Д Из нашего
опыта исследования разрешимой модели, упоминавшейся в предшествующем подразделе, мы ожидаем, что амплитуда воїни также должна иметь поправку порядка е. Эта поправка содержится в Ci, однако вычислений мы здесь не приводим.
10.3.2.4. Фронты импульсов и нелинейная суперпозиция. Когда плоская волна имеет общую границу с областью однородных колебаний, одна из зон расширяется за счет другой. Вообще, волны с различными длинами конкурируют за территорию. Такие ситуации описываются фазовым уравнением (10.36) с помощью интересной теоремы о нелинейной суперпозиции. Замена переменных
Ф = (?>„/Д)іп А, г = (?уД)г' (10.41, 10.42)
приводит уравнение (10.36) к универсальной линейной форме
дA/dt = V2A (10.43)
Так как это уравнение линейно, то, если Ai и A2 — решения, их линейная комбинация также является решением. Единственное ограничение состоит в том, что А должно быть положительным, поскольку ф действительна.
Для уравнения (10.43) существуют решения в виде фазового фронта. Положим A = A(? = x' — ct), тогда уравнение (10.43) принимает вид —сА' = А". Отсюда имеем решение
Ас = е-с«+ам> (10.44)
для произвольных с и функции смещения а (с). Таким образом, наиболее общее rf-мерное решение приобретает форму
