Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Филд Р. -> "Колебания и бегущие полны в химических системах" -> 137

Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.

Филд Р. , Бургер М. Колебания и бегущие полны в химических системах. Под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. А.М. Жаботинского — M.: Мир, 1988. — 720 c.
Скачать (прямая ссылка): fluctuations-and-waves-in-chemical-systems.djv
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 275 >> Следующая


A (r')= \ dc ^d'-iQ (A) Ь (с, /1) ехр [-с (Л • г'- «)] (10.45)

при произвольном весе Ъ (с, п). Здесь л —единичный вектор, a dn-xQ(n)— d-мериый элемент площади поверхности (т. е. cPQ = sin OdOAp для d = 3).

Эти результаты описывают большое число интересных явлений. Возьмем случай линейной комбинации с = 0 и C0 прн одном пространственном измерении. Без потерн общности примем b{c) = 8(c) + 5(c — C0) (б —функция Дирака) и а = 0. Югда в исходных переменных получаем

Ф = (/уД)!п{1 +expl-ca(bx/D„-cM) (Ю.46) Для больших положительных значений аргумента экспоненты

имеем

Это показывает, что уравнение (10.46) отвечает взаимодействию плоских волн и однородных колебаний.

!0.3.3. Отрицательная диффузия фазы

Когда коэффициент диффузии фазы D1, отрицателей, кажется, что теория становится неверной, так как она предсказывает произвольное возрастание градиентов. Это, однако, артефакт теории возмущений предельного цикла: он является результатом того, что теория полагает все градиенты малыми. Полные реакционно-диффузионные уравнения не допускают такого неограниченного роста градиентов. Можно переформулировать теорию, включив в фазу производные высших порядков, что будет компенсировать отрицательные члены фазовой диффузии. Это можно сделать, предположив, что коэффициент диффузии фазы Dp и коэффициент А являются малыми величинами порядка е:

D1=D1B, А = Д'е (10.48)

и переписав уравнения, опять используя разложения по степеням малости е (10.29) п (10.30). В нулевом и первом порядках по е мы восстановим уравнения (10.32) — (10.34). Однако, так как Dp и А теперь порядка е, оии не появляются в уравнении

(10.36), п нз условия, гарантирующего разрешимость относп-

>

тельно Ci1 мы получаем dtp/d^i = 0. Далее имеем ф = ф(г, U, ...), и чтобы получить уравнение для ф, мы должны перейти ко второму порядку по е. Уравнение для членов порядка е.2 имеет вид

[(<Э/д/0) - Щ C2 = - (dC0/672) + Dv2C1 +

+ (дСо/дто){0Уф + |2} (10.49)

где, чтобы фиксировать определение фазы, мы полагаем, что С, не имеет проекции на dCa/dta. Тогда условие, обеспечивающее разрешимость относительно C2, дает уравнение для гр в виде

6\p/6Y2 = Dpjrtp + А' \щ I2 + A1 (V2)2 q> + A21 Vq> Ґ +

+ A31 vф I2 v29 + A1Vq) • VI Vq> I2 + A5Vq) • V(V2(P) +

+ A8W-A7V2IvVp (10.50) Коэффициенты А можно выразить как интегралы общего вида типа (10.37) для Dp и Д. При A1 < 0 это уравнение ведет себя хорошо. Ьсли Ai > 0, то мы должны перейти к следующему порядку, повторяя предыдущую процедуру.

Эта расширенная теория поведения фазы дает решения в виде

"noZ^^Vl + %-1 ПР" сновке в уравнение v = № +(10.51)

Профиль описывается уравнением (10.40) с Д/г2-ИД'ь.2 і + Л2/г4)е. Отметим, что, если Д' и Л2 имеют противоположные знаки, частота волны, зависящая от к, имеет экстремум при *,>¦ = (—Д'/Лг)"2. Для определения природы более сложных решений (10.50) необходима дальнейшая работа.

!0.3.4. Пространственно-временные структуры на основе других динамических аттракторов

10.3.4.1. Общие замечания. Устойчивые предельные циклы — это одномерные динамические аттракторы в системах двух или более переменных. Существуют и другие динамические аттракторы, такие, как тороидальный и странный аттракторы. Поэтому возникает вопрос, как эти явлення, свойственные системам ОДУ, могут быть распространены на пространственно-временную область. Даже для самих предельных циклов не решен вопрос о пространственно-временных структурах на основе динамических аттракторов, имеющихся в исходных ОДУ. Например, в случае релаксационных колебаний в некоторой фазе цикла резко меняется состав, и именно этот короткий масштаб времени, а не длина волны доджей заменить период цикла при определении характерной длины. Действительно, в этом случае можно ожидать образования структур типа ударных волн. Другая интересная причина нарушения простой теории продолжения предельного цикла — разделение единственного предельного цикла на две близко лежащие петли вблизи точки удвоения периода. В этом разделе мы приведем обзор результатов по простой тороидальной модели, которая пригодна для получения нетривиальных точных решений. Теория продолжения двумерных аттракторов, подобная теории продолжения цикла, изложена в работе [222].

10.3.4.2. Поляратор: сингулярный тороидальный аттрактор. Эта модель была сформулирована для исследования возможного сложного поведения в реакционно-диффузионных системах [222]. Рассмотрим три полярные неременные R, в, Ф, эволюционирующие в соответствии с системой уравнений

ClRIdI = RB(R), dQldt = T(R), dO/dt = P (R) (10.52)

Очевидно, что система стремится к одной нз сфер, радиусы которых являются нулями функции B(R) и для которых U[RB(R)] /dR < 0, и в дальнейшем будет эволюционировать в ее окрестности. Если для такого радиуса R0 отношение T(R0)ZP(Ra) не является рациональным, то траектория заполнит всю поверхность сферы. Тщательное рассмотрение показывает, что эта модель отвечает движению на торе, поперечное сечеинс которого сильно деформировано (рис. 10.12).
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 275 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed