Биофизика - Владимиров Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
вязкость крови можно считать постоянной величиной (см. раздел 12.1). При
быстрых изменениях давления, характерных для пульса, величина
эффективного модуля упругости стенки кровеносных сосудов Е достигает
высоких величин (см. гл. 10) и, следовательно, S изменяется
незначительно. Наконец, сам модуль Е можно считать постоянной величиной
при небольших изменениях S. Таким образом, можно принять за постоянные
величины все параметры сосуда и крови, стоящие перед производными в
выражениях (12.5) и (12.9). Введем новые постоянные:
Теперь уравнения (12.5) и (12.9) приобретают простой вид:
dtSdx = Q,dt ~ Qtdi = - dxQdt,
(12.7)
/?=8itvj/52: С = 2rS/Eh\ L = p/S.
(12.10)
(12.11)
231
dp
dt
1
С
dQ
dx
(12.12)
Совершенно такой же вид имеюг уравнения, известные в электротехнике и
описывающие изменение электрического потенциала вдоль электрической цепи
(дср/дх) и во времени (дф/dt), если эта электрическая цепь составлена из
элементов, имеющих в расчете на единицу длины омическое сопротивление R,
емкость С и индуктивность L (см. рис. 97).
Такая, казалось бы, внешняя аналогия полна глубокого физического смысла.
Перепад давлений вызывает ток крови, а разность потенциалов -
электрический ток. Эластичность стенок делает участок сосуда емкостью для
крови, в то время как конденсатор - это емкость для электрических
зарядов. Инерция крови лежит в основе ее гидродинамической индуктивности,
подобно тому как электромагнитная инерция электронов лежит в основе
индуктивности соленоида. Эти аналогии (см. табл. 6) позволяют изучать
гидродинамические явления в кровеносной системе, пользуясь аналоговой
электрической моделью (см. рис. 97). Распространение импульсов
электрического потенциала и тока в такой цепи хорошо изучено в
теоретической электротехнике и легко описывается математически. Модель, в
которой кровеносный сосуд с кровью представляется в виде совокупности
постоянных вязкостных, емкостных и индуктивных гидродинамических
элементов, а кровоток описывается системой уравнений (12.11)
Таблица 6
Гидродинамические и электрические аналогии
Гидродинамические величины Электрические величины
Давление (р) Объемная скорость (Q) Вязкостное сопротивление (R)
Инерционная индуктивность (L) Гидродинамическая емкость (С)
Электрический потенциал (<р) Электрический ток (/) Омическое
(активное) сопротивление (R) Электромагнитная индуктивность (L)
Электрическая емкость (С)
и (12.12), называют линейной моделью с распределенными параметрами.
232
Рис. 98. Разложение импульса давления в бедренной артерии собаки на
гармонические составляющие.
1, 2, 3 - гармонические колебания с частотой I, 2 и 3 Гц; 4 -сумма
гармоник (сплошная кривая) и экспериментальные значения давления
(кружочки); Б - постоянная составляющая; р - давление в относительных
единицах; t - время,
12.4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПУЛЬСОВЫХ ВОЛН
Сокращения сердца сопровождаются выбросом крови в кровяное русло, что
приводит к периодическим изменениям давления. Эти изменения, как и всякий
периодический процесс, могут быть выражены в форме суммы гармонических
колебаний с частотой п\0, где п - натуральные числа, av" - частота 1 Гц
(разложение сложного колебания на сумму гармонических колебаний
называется Фурье-анализом). На рис. 98 в качестве примера показано, что
пульс в бедренной артерии собаки хорошо аппроксимируется рядом Фурье,
состоящим всего из четырех слагаемых (гармоник). Таким образом,
целесообразно сначала рассматривать распространение по сосуду простых
гармонических волн, а затем просуммировать их для описания
распространения естественных (пульсовых) волн.
Итак, предположим, что давление в точке х - 0 изменяется по
гармоническому закону с круговой частотой о = 2r.v (v - частота в
герцах):
Р (0) = Ро cos • (12.13)
При выполнении этого условия решение системы уравнений (12.11) и (12.12)
(ход этого решения опускаем из-за
его сложности) приводит к уравнению затухающей волны:
р = А& %Х cos (<*>f - (Зх), (12.14)
причем коэффициенты * и р связаны с величинами R, L и С в уравнениях
(12.11) и (12.12) соотношениями
Р - ха = ш2/Г; 2(5х = <оУ?С. (12.15)
Величина А0 в уравнении (12.14) представляет собой максимальную амплитуду
колебаний давления и равна р при cos(co/ - fix) = 1 и х = 0. Коэффициент
х показывает, как быстро затухает колебание по ходу сосуда. В самом деле,
амплитуда колебаний в точке х равна Л0ехр(-хх), т. е. уменьшается по ходу
сосуда по экспоненте, показатель которой пропорционален х. Величина Рх в
уравнении (12.14) показывает сдвиг фазы на расстоянии х от начала
отсчета, а коэффициент р связан со скоростью распространения волны v и,
следовательно, с длиной волны Я соотношениями:
и = <о/[3; X = 2тш/ш = 2я/р. (12.16)
Легко найти величины у и Я, решив систему уравнений
(12.15) и подставив величину р в (12.16); однако выраже-
ния получаются громоздкими. Если сопротивление току крови носит в
основном вязкостный характер (toL 4С R\ можно получить приближенное
