Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
ние, т. е. распределение х(0). Найдем распределение л(п) случайной величины х(п) — положения частицы в момент л. По формуле (2) п. 1.1 имеем
Ttj{n) = P{x(n) = j}= 2 Pt'Vi- • ¦'«-I/)) =
..1П -1
— ~i,Pi.4Ph‘t ¦ • ¦ Pin-li ~ Ь'»
i.. ~. ‘a—I
где (яР")/ обозначает f-ю компоненту вектора-строчки лР11, Рп—п-я степень матрицы Р. Иначе говоря,
л(п) = лР", л = 1, 2, ... . (1)
Соотношение (1) может быть интерпретировано и так: Рп есть матрица вероятностей перехода за л шагов, т. е. (Pnh есть вероятность перехода из состояния i в состояние / за л шагов (чтобы в этом убедиться, положим л«!=0 при k^i, л, = 1). Таким образом, исследование поведения цепи за л шагов требует изучения степеней Р" матрицы Р.
Единственный общий способ рассматривать степени матриц состоит в приведении их к жордановой форме.
Напомним, что жордановой клеткой называется матрица вида Я? + В, где X — (комплексное) число, Е— единичная матрица, В — матрица, все элементы которой равны нулю, кроме элементов, равных единице, стоящих непосредственно над главной диагональю. При возведении матрицы В в степень эта параллельная главной диагонали система единиц сдвигается вправо и вверх: таким образом, Вт=0, где т — порядок матриц. Следовательно,
(аЕ + В)п = \"Е + С1„\п~1 В + С№~2 Вг +
+ ... + С™-' ).я_т+,5т_1. (2)
Жордановой формой А называется матрица, составленная, из жордановых клеток и диагональных матриц. Всякую матрицу А можно привести невырожденным преобразованием к жордановой форме; это означает, что А можно представить в виде /4 = С_|АС, где С—невырожденная матрица. Тогда, очевидно, причем отдельные клетки мат-
рицы А возводятся в степень, никак не взаимодействуя друг с другом. Каждое X есть собственное значение матрицы А.
Совокупность собственных значений матрицы называется ее спектром. Займемся изучением спектра стохастической матрицы И.
Распределение вероятностей л стохастической матрицей Р преобразуется в распределение вероятностей л Р. Обратно ес-
224
ли любое распределение вероятностей, т. е. вектор-строчка л= «=(Я|, , n,v), 2л3=1, матрицей Р = \\рц\\ преобразуется в
распределение вероятностей, то матрица Р—стохастическая, т. е. Рц^О, ^,Pij = 1; (для доказательства положим л;=0,
если j=?i, я, = 1; тогда пР есть i-я строчка матрицы Р). Следовательно, из (1) вытекает, что при любом п матрица Рп— стохастическая.
Лемма 1. Собственные значения X стохастической матрицы Р не превосходят по модулю 1. Если |Х| = 1, то такому X не может отвечать жорданова клетка.
Доказательство. Пусть Р=С-’ЛС, тогда Л= СРС~Х и ЛП = С/>ПС-1. Поскольку Рп—стохастическая матрица, то элементы матрицы Л" должны быть ограничены при n-м». Но если 1X1 >¦ 1, то согласно (2) диагональные элементы матрицы (ЯЕ + В)п стремятся по модулю к оо. Если же I X I = 1, ио жордановая клетка нетривиальна (не сводится к диагональной матрице, т. е. ВФО, 2), то матрица С™-ixn~m+1 Bm~l состоит из единственного элемента (которому в сумме (2) не с чем сократиться) порядка величины nm_1-»-oo при п-м». Полученное противоречие доказывает лемму.
Замечание. Поскольку |Х|п-*-0 при п-«-оо, если |Х|<1, то при возведении в степень матрицы Р существенную роль играют лишь точки спектра, равные по модулю 1.
Изучим точки спектра X, такие что IX [ = 1. На распределения вероятностей я матрица Р действует, как на строчки (путем умножения справа я-*-яР). Рассмотрим действие той же матрицы на столбцы.
Столбец f будем обозначать через f(x), х—1, ..., N, и интуитивно понимать как функцию на пространстве состояний Аг={1, ... , N}. Рассмотрим оператор Т, определяемый формулой
Tf(x) = M(f(x( 1)) /х(0)=х) = M(f(x(n)) /х(п-1)=х),
где М (• / х(0) =х) обозначает условное математическое ожидание при условии, что в предыдущий момент времени частица находилась в точке х^Х. По формуле (7) п. 1.2 предыдущего параграфа
Tf(x) = 2 Рху 1(У) — (pf)x* у
т. е. действие оператора Т есть как раз умножение вектора-столбца f на матрицу Р слева.
Полагая f(x)— 1 для всех хеХ, видим силу равенства — что Х=1 является собственным значением
матрицы Р. Доказать, что существует собственная вектор-строчка, являющаяся распределением вероятности, проще всего с помощью теоремы Брауера о неподвижной точке: рас*
15—2567
225
пределеиия вероятностей образуют симплекс S = ..
.... irw):ir/>0, 1J, а преобразование к-+г.Р пе-
реводит 5 в себя и является непрерывным отображением. Следовательно, существует неподвижная точка -=р: :рР=р.
Пусть теперь /—произвольный собственный вектор, отвечающий собственному значению >. = 1: Tf(x) =/(*). Рассмотрим точки х0, такие, что |f(x0| = max|/(x)|; пусть
Х0 = {*<>}• Если х(0) = х0, то f(x0) = ’2lpxuf(y)-, но так как
v
Vp - 1, то это равенство возможно лишь в том слу-
V “•
чае, когда f(y)*=f(x0) для всех у, для которых Р,<у> 0.
