Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
= (—1)п+1/п+1, так что 8jq els (afn) = ( l)n+1 els fn+i
— (—l)u+1^?:(. els S. Этим показана коммутативность диаграммы (9.5).
Для п = О определение ? (и доказательство коммутативности) соответственно проще.
Точность последовательности (9.1) доказывается аналогично с использованием инъективных резольвент. Именно, пусть е : G-*-
Y — инъективная резольвента модуля G. Тогда Horn (A,Y), как и в § 8,— отрицательный комплекс; далее, поскольку каждый модуль Yn инъективен, каждая последовательность Нот (С, Yn) >* >-> Нот (В, Yn) Нот (A, Yn) точна, Следовательно,
О-
• Нот (С, К) Д Нот (5, У)^Нот(Л, У)-» О
§ 9. Две точные последовательности для Ext”
133
есть точная последовательность комплексов. Значит, теорема 11.4.1 в формулировке для верхних индексов утверждает, что первая строка следующей диаграммы точна для каждого п:
Я" (Нот (С,У))Я" (Нот (В,У))-5-
I
Ext" (C,G)
о*
Ext" (B,G)
к*
6r
Я" (Нот (A, Y)) Л Hn+1 (Horn (C,Y))
^ Ext" (A, G) Ext"+1 (C, G).
Для доказательства точности нижней строки требуется теперь только установить коммутативность диаграммы. Заметим, что связывающий гомоморфизм 6Е определяется обращением бя = clso*-16x**1cls_1, и теперь не возникает затруднения со знаком. После принятия этого определения доказательство коммутативности становится похожим на приведенное выше доказательство для двойственного случая, хотя, поскольку в нем используются не только стрелки, но и элементы, мы не можем сказать, что оно строго двойственно. Хотя теорема 9.1 сформулирована на языке точных последовательностей, она может также рассматриваться как утверждение об аннуляторах «псевдокольца» ExtB теоремы 5.3. Действительно, если Е (х, or)— короткая точная последовательность ^-модулей, то
хЕ = 0, <тх = 0, Еа — О,
и эти равенства следующим образом определяют левый и правый аннуляторы в ExtB каждого из элементов х, Е, а. Правый аннуля-тор для х состоит из кратных Е; всякий раз, как элемент р 6 ExtH таков, что произведение хр определено и равно 0, р = 0 или р = Ех для подходящего т 6 ExtB. Аналогично из рх = 0 следует р = хо для некоторого т и т. д. Другими словами, левый аннулятор для х — это главный левый идеал (ExtB) а.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для заданной обычной короткой точной последовательности Е модулей и данных проективных резольвент г': X -*¦ А и е": 2 С крайних модулей А я С построить проективную резольвенту е : Y В среднего модуля В и цепные преобразования f : X -*¦ Y, g: Y -*¦ Z, накрывающие x и а соответственно, так, чтобы короткая последовательность X >-» Y -»Z комплексов была точной. (Указание: для каждого п взять Yn — Хп Q) Zn и определить е и д так, чтобы {Y, е) было комплексом.)
134
Гл. III. Расширения и резольвенты
2. Используя результат упражнения 1, дать доказательство точности (9.1) с помощью проективных резольвент.
3. Вывести предложение 3.7 из теоремы 9.1 и следствия 6.6.
4. Для конечной абелевой группы А и аддитивной группы Q рациональных чисел доказать, что Extz (A, Z) a* Нот/ (A, Q/Z).
§ 10. Аксиоматическое описание функторов Ext
Уже полученные свойства последовательности функторов Ext" достаточны для определения этих функторов с точностью до естественной эквивалентности в следующем смысле.
Теорема 10.1. Пусть для каждого п — 0, 1,2,... задан контравариантный функтор Ех" (Л), определенный в категории модулей со значениями в категории, абелевых групп, и пусть для каждого п и каждой точной последовательности Е : А » В -» С задан гомоморфизм Еп : Ех” (Л) Exn+1 (С), естественный относительно морфизмов Г : Е -*¦ Е', коротких точных последовательностей.
Предположим, что существует такой фиксированный модуль G, для которого
Ех° (А) — Нош (Л, G) для всех А, (Ю-1)
Ex11 (F) — 0 для п > 0 и всех свобод-
ных модулей F, (Ю-2)
и предположим, что для каждой последовательности Е — (х, а) последовательность
(ТФ u^i
-------> Ехп (С) -» Ехп (В) -> Ехп (Л) -> Exw (С) —> ... (10.3)
точна. Тогда для каждого модуля А и каждого п существует изоморфизм Фа : Ех” (Л) a* Ext” (Л, G), причем фА = 1; этот изоморфизм естествен по А, и имеет место коммутативная диаграмма
Еп 1
Ех” (Л) Еха+1 (С)
|ф» |„»+i (Ю.4)
Ext" (Л, G)^Ext"+1(C, G)
для всех п и всех коротких точных последовательностей Е: А >-» В -» -» С.
Свойство (10.4) означает, что «ф коммутирует со связывающими гомоморфизмами». Вместе с естественностью ф это означает, что изоморфизмы ф” определяют морфизм длинной последовательности (10.3) в соответствующую последовательность (9.1) для Ext.
Эта же теорема верна, если слово «свободный» в (10.2) заменить словом «проективный».
§ 10. Аксиоматическое описание функторов Ext
