Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть П — фиксированная группа, тогда Z\ (П, А) и Н\ — ковариантные функторы аргумента А; для каждого модульного гомоморфизма а : А -*-В (aj) (*) определяется как а [/ (*)]. При фиксированной абелевой группе А с тривиальной П-модульной структурой можно превратить Z\ и Н% в контравариантные функторы аргумента П; групповой гомоморфизм ? : П ->П' и скрещенный гомоморфизм f группы П' определяют индуцированное отобра-
§ 3. Расширения групп
145
жение ?* : 2J, (П', Л) -vZJ, (П, А) при помощи формулы (?*/) (х) = = f (?*). Этого нельзя сделать, если А есть нетривиальный П- или ГГ-модуль. Однако если ?: П-»-П' и А' есть IT-модуль относительно гомоморфизма ф' : П' ->-Aut А', то А' является также П-модулем относительно гомоморфизма ф'? : П -> Aut А' и мы можем определить индуцированные гомоморфизмы
?* : 4' (П'> А') -* (П, А'), С* : (IT, А') Я^с (П, А'),
положив (Z*f) (х) — /(?*) для любого скрещенного гомоморфизма/ группы ГГ. Эти индуцированные гомоморфизмы ?* ведут себя функторным образом, т. е. (S'S)* = ?*?'* и 1* = 1.
Более формально, рассмотрим тройку (П, А, ф) как объект категории морфизмами р: (П, А, ф) -*- (ГГ, А', ф') которой являются замены групп, т. е. пары р = ,(?, а) таких групповых гомоморфизмов ? : П -»-1Г, а : А' ->-Л, что
х (аа') = а [(?х) а'] (2.6)
для всех х 6 П и а' 6 Л'. Отметим, что а направлен в обратную сторону (от Л' к Л) и что условие (2.6) утверждает, что гомоморфизм а : А' -*¦ А является гомоморфизмом П-модулей. Если р' = = (?', а') : (П',Л'.ф') -»-(ГГ, Л", ф") — вторая замена групп, то произведение р'р равняется (?'?, аа'). Для любого скрещенного гомоморфизма /' группы П' в Л' определение (р*/') (*) = а [/' (?*)] дает отображение р* : Z\- (П', A') -*-Z\ (П, Л). Тем самым Z\ и Яф превращаются в контравариантные функторы, определенные в категории замен групп. Отображение р* есть произведение
Я^(П', Л') Д Н^(П, Л') Д Н%(П, Л) ранее введенных отображений ?* и а*.
§ 3. Расширения групп
Расширением групп называется короткая точная последовательность
Е:0 G Д ? Л П 1, (3.1)
вообще говоря, неабелевых групп. Удобно записывать групповую операцию в О, G и В как сложение, а в П и 1 как умножение. Как и раньше, утверждение о точности Е равносильно утверждению, что х отображает G изоморфно на нормальный делитель в В, а а индуцирует изоморфизм B/kG^U соответствующей факторгруппы. Расширение Е расщепляется, если а обладает правым обратным v, т. е. если существует такой гомоморфизм v : П ->Б, что <tv = 1п, где 1п — тождественный автоморфизм группы П. Полупрямое произведение (1.5) расщепляется как расширение.
10-353
146
Гл. IV. Когомология групп
Пусть Aut G обозначает группу автоморфизмов группы G с групповой операцией: последовательным выполнением автоморфизмов. Трансформирование в В порождает гомоморфизм 0 : В -> Aut G. Действие каждого автоморфизма 0 (b) на элемент g 6 G описывается равенством
и [(&>)?] = & + (*?) — b, b?B, g?G.
Предположим, что G — А — абелева группа; тогда 0 (Л) = 1, так что 0 индуцирует гомоморфизм <р: П Aut Л и <рсг == 0. Таким образом, <р определяется равенством
х [(срай) а] = Ь + (ха) — Ь, Ь?В, а ? Л. (3.2)
В этом случае мы скажем, что Е есть расширение абелевой группы А при помощи группы П с операторами ф : П -> Aut Л. Отображение ф указывает способ, при котором А появляется как нормальный делитель расширения.
Задачей теории расширений групп является построение всех последовательностей Е с заданнымй Л, Пи ф. Гомоморфизм ф задает П-модульную структуру в А; значит, задача теории расширений групп при известных группе П и П-модуле Л состоит в построении всех Е. Имеется по крайней мере одно такое расширение — полупрямое произведение А х ФП.
Если Е и Е' — любые два расширения групп, то морфизмом Г: Е -у Е' считается такая тройка Г = (а, Р, у) групповых гомоморфизмов, что диаграмма
Е:0->А->В-±П-± 1
\,v (3.3)
Е' :0_^Л'-»В'-*П'-» 1
коммутативна. Если Л и Л' абелевы группы, а ф и ф' : П' ->-Aut Л' — ассоциированные операторы для Е и Е', то легко показать, что имеет место тождество
а [ф (х) а] = (ф'у*) аа. (3.4)
Например, если Л = Л' и а = \А, то (фх) а = (ф'уд:) а. Другими словами, П-модульная структура в А определяется П'-модульной структурой. Если Г: Е —*¦ Е' и Г': Е' —> Е" являются морфизмами расширений, то Г'Г : Е —> Е" — также морфизм расширений.
Если Е и Е' — два групповых расширения одного и того же модуля А с помощью группы П, то конгруэнция Г: Е —* Е' — это морфизм Г =; (а, р, у) с а= 1а и у = 1П. Для абелевой группы Л из (3.4) вытекает, что ф = ф', т. е. конгруэнтные расширения имеют одинаковые операторы. Короткая лемма о пяти гомоморфизмах (для некоммутативного случая) показывает, что в кон-
§ 3. Расширения групп
147
груэнции Г = (1А, р, 1 п) Р — изоморфизм, следовательно, каждая конгруэнция имеет обратную. Поэтому мы можем говорить о классах конгруэнтности расширений. Пусть Opext (П, А, <р) обозначает множество всех классов конгруэнтности расширений абелевой группы А при помощи П с операторами ф. Мы хотим описать Opext.
