Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 6.6. Для абелевых групп А и С, Extz (С, А) = = 0, если п > 1.
Доказательство. Представим С в виде С — F/R, где F — свободная абелева группа. Поскольку подгруппа R свободной абелевой группы F свободна, 0-+-R-*-F->-C-*-Q есть свободная резольвента С, тривиальная (вместе с группами когомологий) в размерностях, больших 1.
Рассмотрим теперь действие кольцевого гомоморфизма р: R" -+R (pi = 1). Любой левый ^-модуль А становится левым #'-модулем, если действие операторов определить следующим образом: г'а = (рг') а; мы будем говорить, что модуль А превращен в ^'-модуль рА отступлением вдоль р. Каждый ^'-модульный гомоморфизм а : С ->¦ А является также R '-модульным гомоморфизмом рС —>¦ рА. Точно так же каждая длинная точная последовательность 5 из ^-модулей превращается в длинную точную последовательность PS из R'-модулей; при этом конгруэнтные последовательности остаются конгруэнтными. Следовательно, отображения р#а = а, p# (els S) = els PS определяют гомоморфизмы
p# : Extl (С, А) ExtH- (РС, РЛ), п = 0, 1, ... (6.8)
называемые заменой колец. При фиксированном р они естественны по С и Л.
Эти гомоморфизмы могут быть вычислены с помощью проективных резольвент е: X ->¦ С и е': X' -> РС для R и '-модулей соответственно. Для указания кольца R будем писать Я” (HomH (X, Л)) вместо Я" (X, Л).
Теорема 6.7. Замена колец р# с точностью до изоморфизма ? теоремы 6.4. совпадает с произведением
Нп (Нотл(Х, Л)) На(НошвЧрХ, РЛ)) ->На (Нот* (X', РЛ)),
где р* — отображение групп когомологий, индуцированное цепным преобразованием р# : Нотл -> НотВ', a f: X' РХ — цепное преобразование, накрывающее тождественное отображение модуля РС.
Доказательство. Случай п = 0 оставляется читателю. При п > 0 возьмем S ? 6 Extr (С, Л). Как и в (6.2), 1с накрывается отображением g : X -> S. Поскольку РХ -> РС есть резольвента рС, по теореме сравнения тождественное отображение модуля РС
124
Гл. III. Расширения и резольвенты
накрывается цепным преобразованием / : X' -> РХ. Соответствующая диаграмма такова:
l8n I I II
S : 0 —>¦ А '—> Вп-1 ¦—^ • • • —> Во —> С.
Теперь проследим за отображениями: изоморфизм ? переводит els S в els gn, p# рассматривает gn как #'-модульный гомоморфизм, f* отображает els gn в els (gnfn), равный ? (clsp S), так как gf накрывает 1. Отсюда и вытекает указанный результат, который окажется полезным при изучении умножений.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть е : У С — проективный комплекс над С и е' : X С — резольвента С. Построить естественные гомоморфизмы
? : Extjj (С, А) -> Нп (У, А), л : Нп (X, А) -> Ext? (с> ^)-
2. (Вычисление произведения Ионеды с помощью резольвент.) Пусть X С и У Д — проективные резольвенты, g 6 Homrt (X, А) и Л € Homm (У, С) — коциклы. Запишем g в виде g0d', где g0 : дХп А, и накроем g0 отображением /, как показано в диаграмме:
Хт+п —>•••—> хп —> —> о
у 1го
Ут -» ••• —> У0 —> А —> 0.
Показать, что hf есть (т + п)-мерный коцикл в Homm+n (X, С), и доказать, что произведение Ионеды г| (els h) от) (els g) равно г| (els hf).
3. Дана точная последовательность Е = (х, о) : А -у* В С и отображения а : А -*¦ А', ? : В А'. Показать при помощи диаграммы, что (<х+ |х) Е = аЕ.
4. Если S = Еп о . . . о Ei, то показать, что любой морфизм Г : S
S' п-кратных точных последовательностей, который начинается с а : А -*¦ А’, можно разложить в произведение
S —> (а?„) о ?„_i о ... о —» S'.
5. (Другое определение отношения конгруэнтности для точных последовательностей.) Пусть S, S' 66 Extn (С, А). Показать, что S = S' тогда й только тогда, когда существует последовательность Т 66 Extn (С,А) и морфизмы Г : Т S н ГТ -*¦ S’, начинающиеся и кончающиеся единицами. (Использовать упражнения 3 и 4 и последовательность Т = ^hS» (С, X).)
§ 7. Инъективные модули
125
§ 7. Инъективные модули
Описание групп Ext" с помощью резольвент таково: заменить первый аргумент проективными модулями и вычислить Ext" с помощью групп когомологий: Ext" (С,А) э* Я" (Нот (Х,А)). Мы хотим получить двойственное утверждение, используя подходящие резольвенты для второго аргумента А. Для этого нам нужны модули, двойственные проективным, такие модули называются инъективными.
Говорят, что левый ^-модуль J инъективен, если любой гомоморфизм а с областью значений J можно всегда продолжать, т. е. для всякого а: A-*- J и A cz В существует гомоморфизм (5: В ->¦ J, продолжающий а. Эквивалентно, модуль J. инъективен, если произвольная диаграмма вида
с точной горизонтальной строкой может быть дополнена (пунктирной стрелкой указано пополняющее отображение) до коммутативной диаграммы. Характеризации проективных модулей из теоремы 1.6.3 и теоремы 3.5 немедленно дуализируются:
Теорема 7.1. Следующие свойства модуля J эквивалентны:
(i) J — инъективный модуль;
(И) для каждого мономорфизма к: А-*- В отображение х* : Нот (В, J) Нот (A, J) является эпиморфизмом:
