Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Скрещенные гомоморфизмы
Если А — П-модуль, то скрещенным гомоморфизмом группы П в группу А называется такое отображение / из П в А, что
f(xy) = xf(y) + f(x), х,у? П. (2.1)
При этом обязательно / (1) = 0. Например, если А — тривиальный П-модуль (всегда ха = а), то скрещенный гомоморфизм — это в точности обычный гомоморфизм мультипликативной группы П в аддитивную абелеву группу А.
Сумма двух скрещенных гомоморфизмов fug, определенная как (f + g) (х) = f (x)+g (х), является скрещенным гомоморфизмом. Относительно этого сложения множество скрещенных гомоморфизмов П в А образует абелеву группу, которая будет обозначаться ZJ, (П, А), причем ф отмечает здесь П-модульную структуру П -> Aut А в А. Для каждого фиксированного элемента а 6 А функция fa, определенная равенством fa (*) = ха — а, является скрещенным гомоморфизмом. Функции вида fa назы-
§ 2. Скрещенные гомоморфизмы
143
ваются главными скрещенными гомоморфизмами. Поскольку fa + fb — До+Ь, И /(-а) = — fa, ОНИ Образуют ПОДГРУППУ В\ (П, А) группы ZJ, (П, Л). Первая группа когомологий группы П над Л определяется как факторгруппа
Н\ (П, Л) = Z* (П, А)/В% (П, Л). (2.2)
Если Л—мультипликативная группа поля, а П — конечная группа автоморфизмов группы Л (определяющая П-модульную структуру в Л), то основная теорема теории Галуа (Артин [1944], теорема 21) утверждает, что Я1 (П, Л) = 0, т. е. в этом случае каждый скрещенный гомоморфизм является главным. Другое приложение скрещенных гомоморфизмов дано в следующем предложении.
Предложение 2.1. Г руппа всех автоморфизмов полу прямого произведения В = Л х ФП, которое индуцируют тождественные автоморфизмы в подгруппе А и факторгруппе В/А ^ П, изоморфна группе Z\ (П, Л) скрещенных гомоморфизмов. При этом изоморфизме внутренние автоморфизмы группы В, индуцированные элементами из А, соответствуют главным скрещенным гомоморфизмам.
Доказательство. Автоморфизм со, обладающий указанными в условии свойствами, должен определяться формулой со (а, х) = (а + / (х), *), где f {х) — некоторая функция из П в А, причем / (1) = 0. Условие, что © — автоморфизм, эквивалентно равенству (2.1). При этом произведение автоморфизмов соответствует сложению функций /, а внутренние автоморфизмы (Ь,х)-+(а, 1) -j- (b,x) — (q, 1) — главным скрещенным гомоморфизмам.
Скрещенные гомоморфизмы могут быть описаны следующим образом в терминах группового кольца Z (П) и пополнения e:Z (П) Z.
Предложение 2.2. Скрещенный гомоморфизм группы П в Z (Щ-модуль А — это такой гомоморфизм g : Z (П) Л абелевых групп, что
S(rs) — rg (s) +g (r) e (s), r, s?Z(П). (2.3)
Главные скрещенные гомоморфизмы — это гомоморфизмы ga, определяемые для каждого фиксированного элемента а 6 Л формулой ga (г) = га — ае (г).
Доказательство. В приведенных формулах е (s) и е (г) — целые числа, которые действуют справа на Л как кратные, т. е. ае (г) = е (г) а. Если дана некоторая функция g со свойством (2.3), то ее ограничение / == g| П на элементах х 6 П является
144
Гл. IV. Когомология групп
скрещенным гомоморфизмом в смысле (2.1), поскольку е (д:) = 1. Обратно, любой скрещенный гомоморфизм / в смысле (2.1) можно продолжить линейно до гомоморфизма g: Z (П) —> А абелевых групп, положив g (1*тхх) = 2тж/ (х). Тогда (2.3) следует из
(2.1). Мы отождествляем / с его расширением g и получаем сформулированный результат.
Пополнение е: Z (П) -»- Z является кольцевым гомоморфизмом, следовательно, его ядро I (П) — двусторонний идеал в Z (П) и, значит, П-подмодуль модуля Z (П).
Вложение i определяет точную последовательность
О -> /(П) Л 2(П) Л Z 0 (2.4)
П-модулей, в которой Z имеет тривиальную модульную структуру. Отображение т ml из Z в Z (П) является гомоморфизмом аддитивных групп (но не П-модулей!), правым обратным к е. Следовательно, последовательность (2.4) расщепляется как последовательность абелевых групп. Левый обратный р : Z (П) 1 (П) к вло-
жению i — это отображение, определенное для г 6 Z (П) формулой рг = г — е (г) 1. Оно является гомоморфизмом абелевых групп и скрещенным гомоморфизмом группы П в модуль I (П).
Предложение 2.3. Для любого U-модуля А операция ограничения до I (П) всякого скрещенного гомоморфизма g вида (2.3) порождает изоморфизм
(П, А) ??. Нош2(П) (/ (П), А). (2.5)
Главные гомоморфизмы соответствуют модульным гомоморфизмам ha : / (II) —> А, определенным для фиксированного а формулой
ha(u) = ua, и?/(П).
Доказательство. Если е (s) = 0, то тождество (2.3) принимает вид g (rs) = rg (s), так что отображение g, ограниченное ядром е, становится модульным гомоморфизмом, что и утверждалось. Обратно, любой модульный гомоморфизм h : I (П) ->Л, умноженный на специальный скрещенный гомоморфизм рг — = г — е (г) 1, порождает скрещенный гомоморфизм hp модуля Z (П), ограничение которого на I (П) совпадаете А. Наконец, главные гомоморфизмы ведут себя надлежащим образом.
