Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
135
Поскольку функторы Ext”, очевидно, удовлетворяют аналогам свойств (10.1), (10.2) и (10.3), мы можем рассматривать эти свойства как аксиомы, характеризующие последовательность функторов Ext”, «связанную» гомоморфизмами Е*.
В доказательстве изоморфизмы ф” строятся индукцией по п; случай п — 1 представляет наибольший интерес. Представим каждый модуль С как фактормодуль F/К свободного модуля F. Этим определяется короткая точная последовательность Ec'.K^F-^C. В силу (10.2) Ex1 (F) — 0, поэтому последовательность (10.3) принимает вид
иф Ег*
Нот (F, G) -> Нот (К, G) -> Ех1 (С) -> 0.
Точность этой последовательности означает, что Ех1 (С) я* ^ Нот (К,G)/я* Нот (F,G). Последовательность (9.1) для Ext1 показывает, что группа Ext1 (C,G) изоморфна той же группе. Комбинирование этих изоморфизмов дает изоморфизм фЬ : Ex1 (Q ~ a* Ext1 (С, G); по своему построению фЬ характеризуется равенством
<рЬЕЬ = Eg: Нош (К, G) -> Ext1 (С, • G),
которое является частным случаем (10.4). Для доказательства естественности фс для любого у : С-*- С' выберем точную последовательность Ес : К' >-* F' -» С'. По теореме сравнения у накрывается гомоморфизмом f>\ FF', который индуцирует морфизм Г = = (а, р, 7) :Ес~+Ес'. Поскольку оба связывающих гомоморфизма Е1 и Е* естественны относительно таких морфизмов Г, то
•у*фс- ЕЬ- = у *Е*' = Е* а* = ц>ЬЕЬа* = ф Ьу*ЕЬ' ¦
Но Ес — эпиморфизм, поэтому
Y4b' = <PcY* : Ех1 (С') -> Ext1 (С, G);
таким образом, изоморфизм ф1 действительно естествен относительно отображений модулей. В частности, если Ес и Ес два свободных представления одного и того же модуля С (у — 1с), то последнее тождество показывает, что гомоморфизм фЬ не зависит от выбора свободного модуля F, использованного при построении. Наконец, если Е: А >¦* В -» С произвольная короткая точная последовательность, то по теореме сравнения (для свободного модуля Е) опять можно накрыть 1 морфизмом (а, р, 1) : Ес -*¦ Е и установить, что
1 *?* = Е*а* (ввиду естественности Е*),
— срсЕса* (по определению ф),
= Ф&?1 (ввиду естественности Е1).
Но это и есть свойство (10.4) для п— 1.
136
Гл. III, Расширения и резольвенты
Для п > 1 мы поступаем подобным же образом, выбирая короткую точную последовательность Ес со свободным средним членом. Тогда Exn_1 (F) = 0 = Ex" (F), так что точная последовательность (10.3) принимает вид
Ec~i
0 Ех^ЧК)—> Ех" (С) 0,
и Ехп (С) = Ех”-1 (К). Используя аналогичную последовательность для Ext", мы определим фп равенством
Фс = ?сфГ* (ЯГ1)"1: Ex'1 (С) ее Ext” (С, G)
и установим естественность, независимость от выбора F и коммутативность диаграммы (10.4), так же как и для п — 1.
Существует двойственная характеристика для Ext (С,А) как функтора от А, использующая вторую точную последовательность (9.2).
Теорема 10.2. При фиксированном модуле G ковариантные функторы Ext” (G, А) от аргумента А, п = 0, 1, . . . вместе с естественными гомоморфизмами ?* : Ext” (G, С) -> Ext"+1 (G, Л), определенными для коротких точных последовательностей Е модулей, характеризуются с точностью до естественного изоморфизма следующими тремя свойствами:
Ext0 (G, А) — Нот (G, Л) для всех А, (10.5)
Ext”(G, J) = 0 для п>0 и всех инъективных модулей J, (10.6) последовательность (9.2) точна для всех Е. (Ю.7)
Доказательство. Сначала заметим, что функторы Ext" обладают свойством (10.6), так как инъективный модуль J имеет инъективную резольвенту 0 -*• J -> J -> 0, которая исчезает во всех размерностях, следующих за 0. Обратно, доказательство того, что эти три свойства характеризую^ Ext" (G, А) как функторы от Л, двойственно данному выше доказательству теоремы 10.1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Шануэль.) Даны две короткие точные последовательности К>* Р-» С и К' Р' -» С, где Р и Р' проективны, К cz Р, К' cz Р', а на конце — один и тот же модуль С. Построить изоморфизм Р 0 Р' sl Р ф Р’, отображающий изоморфно К ® Р' на Р ® К' ¦
2. Назовем два модуля С и С' проективно эквивалентными, если суще-
ствуют проективные модули Q и Q' и изоморфизм С ф Q' s С' 0 Q. Пусть S: К >* Р„_1 Р0 -» С — л-кратная точная последовательность
с проективными модулями Pt. Используя упражнение 1, показать, что класс
§ 11. Инъективная оболочка
137
модулей, проективно эквивалентных модулю К, зависит только от класса проективной эквивалентности модуля С и не зависит от выбора S.
3. Если S — последовательность из упражнения 2, то показать, что итерированный связывающий гомоморфизм устанавливает изоморфизм S* : Ext1 (К, G) == Extn+l (С, G) для любого модуля G.
§ 11. Инъективная оболочка
Каждый #-модуль А является подмодулем инъективного модуля (Теорема 7.4). Мы сейчас покажем, что для каждого А существует единственный «минимальный» инъективный модуль с этим свойством.
Расширение А с В, или мономорфизм к : А’ В с образом А, называется существенным, если из S с В и S П Л = 0 всегда следует S = 0. Это условие равносильно требованию, чтобы для всякого элемента b Ф 0 из В нашелся такой элемент г ? R, что гЬф О и rb? A. Например, аддитивная группа Q рациональных чисел является существенным расширением группы целых чисел Z. Если Л с 5 и S с С — существенные расширения, то Л с С — существенное расширение.
