Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
5о:0->лЛл->0-*--------------->0->сЛс-^0.
Действительно, для каждой последовательности S ? € Ext" (С,Л) существует морфизм (0, - . 1): SS0, так что в силу предло-
жения 5.1 S0 = 0а5 и els S + els S0 = ds 's-
правила (5.5) показывают, что функтор Extn аддитивен, так что мы получаем, как и для Ext1, изоморфизмы
Ext" (Л © В, G) ^ Ext” (Л, G) © Ext" (В, G),
Ext" (Л, G 0 Я) s Ext" (Л, G) © Ext" (Л, Я).
Далее, любое короткое расширение с помощью проективного модуля расщепляется. Поэтому
Ext" (P,G) = 0, n>0, Р проективен. (5.10)
Наше построение элемента а ? Ext" (С, Л) как класса всех (возможных) л-кратных последовательностей, конгруэнтных данной последовательности S, дает «большой» класс, и поэтому класс Ext" (С, Л) таких классов не строго определен при обычной аксиоматике теории множеств. Это «непорядочное» использование теории множеств можно исправить: интуитивно ясно, что достаточно ограничить кардинальные числа множеств, используемых при построении последовательностей S для данных модулей Л и С.
Перейдём теперь к отысканию методов вычисления групп Ext".
§ 6. Резольвенты
Любой модуль С является фактормодулем С = F0/R0 некоторого свободного модуля F0. Подмодуль R0 снова есть фактормодуль Ro = FJRi для подходящего свободного модуля Fi. Продолжение
§ 6. Резольвенты
119
этого процесса приводит к точной последовательности • • • Ft
F0 С ->¦ 0, которая называется «свободной резольвентой» модуля С. Мы хотим сравнить между собой две такие резольвенты. Более детально, комплекс (Х,е) над /^-модулем С — это такая последовательность ^-модулей X и гомоморфизмов
->Х„ЛХМЛ------------>Х,Лх0Дс->0, (6.1)
что произведение любых двух последовательных гомоморфизмов равно нулю. Другими словами, X — это положительный комплекс ^-модулей, С — тривиальный цепной комплекс (С — С0, д — 0) и е: X С — цепное преобразование комплекса X в комплекс С. Резольвентой модуля С называется точная последовательность (6.1), т. е. комплекс (X, е) с группами гомологий Нп (X) = 0 при п > 0 и 8 : Н0 (X) о* С. Комплекс X свободен, если каждый модуль Х„ свободен, и проективен, если каждый модуль Хп проективен. Мы сравним любой проективный комплекс с некоторой резольвентой.
Теорема 6.1. (Теорема сравнения.) Если, у: С-*- С“ — гомоморфизм модулей, е: X ->¦ С — проективный комплекс над С и е": X" С' — резольвента С", то существует цепное преобразование f : X X', причем e'f — уе, и любые два таких цепных преобразования цепно гомотопны.
Мы будем говорить, что преобразование / накрывает гомоморфизм у.
Доказательство использует лишь категорные свойства проективных модулей и точности. Поскольку модуль Х0 проективен, а е' — эпиморфизм, отображение уг : Х0 ->¦ С' можно провести через отображение /о : Х0 -*¦ Х'п, где е'/о = У8- Для завершения доказательства достаточно построить по индукции такое отображение fn, если даны отображения fn-u . . ., /0, что диаграмма
Хп^Хп-у—ЛХп-2 ->--------------->хеЛс
/о
-х:Лс
s fn fn~ 1 fn-2
1
я' ^ i - >
Лп ^ > А t'n-2
коммутативна. Ввиду этой коммутативности d’n~ifn-idn = /„-2dd = = 0. Значит, Im (fn-idn) cz Ker dh-i- В силу точности нижней строки последнее ядро равно дйХ'„. Поскольку модуль Хп проективен, отображение fn-idn можно провести через д'п : d'nfn = = fn-idn, что и требовалось доказать.
Построение гомотопии проводится подобным же образом; оно может быть проведено непосредственно или с использованием замечания, что разность между двумя цепными преобразованиями
120
Гл. III. Расширения и резольвенты
f : X -у X', накрывающими один и тот же гомоморфизм у, есть цепное преобразование, накрывающее 0 : С С’.
Лемма 6.2. Пусть в условиях теоремы 6.1 /: X -*¦ X' — цепное преобразование, накрывающее у: С С'. Предположим, что существует такой гомоморфизм t: С -v X', что e‘t = у. Тогда существуют такие гомоморфизмы Sn,: Хп Х„+1 дляп = 0, 1, . . ., что для всех п
d's0+te = f0, d'sn+i-\-snd = fn+1-
Доказательство. Отображение е' (/0 — te) : Х0 С' равно нулю. Поэтому /0 — te отображает проективный Модуль Х0 в Кег е' = Im (Хх -+¦ X'), следовательно, это отображение можно провести через д': d's0 = /0 — te. Предположим по индукции, что мы уже построили искомые отображения t =
= s-i, s0....V Мы хотим найти такое отображение s^+i, что
д Sft-м /n+i Теперь
д’ (fn+i — snd) = fnd — {fn — Sn-id) d = 0
по индуктивному предположению, так что /„+i — s„d отображает X„+i в Кег д' = й'Хп+2 и, следовательно, может быть проведено через д' с помощью нужного отображения sn+1 : X„+i->-->• Хп+2.
Пусть А — фиксированный модуль; применим функтор Нотв (—,Л) к резольвенте (6.1). Поскольку этот функтор не сохраняет точность, результирующий комплекс Нотн (Х,Л) может иметь нетривиальные группы когомологий
Нп (X, А) = Нп (HomH (X, Л)).
Следствие 6.3. Если X и X' — две проективные резольвенты модуля С, а А — произвольный модуль, то группы Нп (X, А) о?? а* Нп (Х‘,А) зависят только от С и А.
